台大資工所數學考古題十年大統整（106–115）
題型演變
| 年度 | 科目名稱 | 題數 | 頁數 | 作答形式 | 離散／線代 |
|---|---|---|---|---|---|
| 106 | 數學 | 12 | 3 | 一般作答 | 50 / 50 |
| 107 | 數學 | 10 | 1 | 一般作答 | 50 / 50 |
| 108 | 數學 | 12 | 3 | 自繪 12 列表格 | 50 / 50 |
| 109 | 數學 | 11 | 3 | 非選擇題作答區 | 50 / 50 |
| 110 | 數學 | 10 | 2 | 自繪表格 | 40 / 50（＋群論 10） |
| 111 | 數學（A） | 12 | 2 | 全單選 | 50 / 50 |
| 112 | 數學（A） | 11 | 2 | 2B 鉛筆答案卡 | 50 / 50 |
| 113 | 數學（A） | 10 | 2 | 填入試卷表格 | 50 / 50 |
| 114 | 數學（A） | 10 | 2 | 自繪表格 | 50 / 50 |
| 115 | 數學（A） | 10 | 2 | 自繪表格 | 50 / 50 |
111 年起科目改稱「數學（A）」，節次固定為第 4 節。 近三年（113–115）穩定為「10 題、每題 10 分、自繪表格填答」。
每年必考的五個題型
這是整份統整最實用的部分 —— 以下五類題目十年間出現超過七次：
1. 遞迴式求解（10 年中 9 年）
| 年度 | 遞迴式 | 特徵根 |
|---|---|---|
| 106 | an+2 = an+1 + a_n | Fibonacci |
| 107 | an = 2an−1 + 3an−2 | 3, −1 |
| 108 | an+2 = an+1 + 2X·a_n | −X, Y |
| 109 | an = 3an−1 + n | 非齊次 |
| 110 | an = 3an/2 + 1 | 分治型 |
| 111 | an = an−1 + 6an−2 | 3, −2 |
| 112 | an = −2an−1 + 6an−2 | — |
| 113 | an = −an−1 + 12an−2 | 3, −4 |
| 114 | an = −3an−1 + 10an−2 | 2, −5 |
幾乎都是二階常係數齊次遞迴，而且常要求「以任意初始條件 a0、a1 表示係數」。
2. 部分分式分解的生成函數（109、111、112、114）
永遠緊接在遞迴式那一題之後。109 年還特別註明「像 (x−8)/(x−3)2 這種不算部分分式分解」。
3. 方程式的整數解計數（106、107、108、109、111、112、114）
變化形式包括：非負整數解、正整數解、帶上下界、不等式（≤ r，要加 slack variable）。
112 年第 4 題與 114 年第 6 題完全相同：x1+x2+x3+x4 ≤ 7 的非負整數解個數。
4. 關係與函數的計數（106、107、111、112、113、114）
- 106｜既不 reflexive 也不 irreflexive 的關係數
- 107｜reflexive 且 symmetric 的關係數
- 111｜non-symmetric 的關係數
- 112、113、114｜函數個數／二元關係個數（常再加 mod p）
必背：|A| = m 時，reflexive 有 2m2−m、symmetric 有 2(m2+m)/2、antisymmetric 有 2m·3(m2−m)/2。
5. 線代的「敘述判斷」題（107、108、110、111、112）
問法有三種，難度依序遞增：
- 「選出所有正確的」（107、110、112）
- 「以下五個有幾個正確」（108、111）—— 不能部分猜對
- 全對才給分（多數年度都明訂）
常考的迷思：相似矩陣有相同特徵值但不同特徵向量、tr(AB) = tr(BA) 但 ≠ tr(A)tr(B)、可對角化的充分條件、正交矩陣的性質。
主題出現年度一覽
離散數學
| 主題 | 出現年度 |
|---|---|
| 遞迴式求解 | 106、107、108、109、110、111、112、113、114 |
| 整數解計數 | 106、107、108、109、111、112、114 |
| 關係／函數計數 | 106、107、111、112、113、114 |
| 生成函數 | 107、109、111、112、114 |
| 圖論（Eulerian／Hamiltonian／二分圖／著色） | 106、108、110、111、112、113、114 |
| 二項式係數恆等式 | 106、108、110 |
| 數論（互質、φ 函數、模冪） | 106、113、114、115 |
| 邏輯（tautology／satisfying assignment） | 108、113、114 |
| Catalan number | 110 |
線性代數
| 主題 | 出現年度 |
|---|---|
| 特徵值與可對角化 | 106、107、108、110、111、112、113、114 |
| 敘述判斷題 | 107、108、110、111、112 |
| 內積空間與正交化 | 106、107、114、115 |
| Cayley-Hamilton／最小多項式 | 107、110、111、113 |
| 偽逆（pseudo-inverse） | 106、109、113、115 |
| 子空間的維度與交集 | 110、111、113 |
| Jordan normal form | 109 |
| 矩陣的函數（冪、立方根） | 106、111、112 |
| SVD／奇異值 | 113、115 |
| 有限體上的線性代數 | 113 |
| 群論（Lagrange 定理） | 110（十年唯一一次） |
| 最佳化／nuclear norm | 115 |
必守的五個主題
- 二階常係數遞迴式 + 部分分式生成函數 —— 十年考九年，而且兩題常常連在一起，是最穩的 20 分
- 整數解計數的四種變形（非負／正／帶下界／不等式）—— 十年考七年
- 關係與函數的計數公式 —— 十年考六年，背起來就能秒答
- 線代的敘述判斷題 —— 五年出現，而且多為「全對才給分」，要把常見迷思整理成表
- 偽逆與最小平方解 —— 106、109、113、115 四次出現，是台大線代最偏好的進階主題
給 116 年考生的策略
- 近三年（113–115）穩定為「10 題、每題 10 分、自繪表格」，練習時就照這個格式作答
- 只填答案、沒有過程分（115 年更明訂「未化至最簡不予給分」），算對一步錯一步就整題歸零
- 時間分配：離散五題通常較快，線代五題（尤其最後兩題）常有超綱內容 —— 先把離散與線代的基本盤掃完，再回頭處理難題
- 最後一兩題幾乎每年都超綱（115 的 nuclear norm 與 relative smoothness、113 的奇異值與偽逆、111 的矩陣立方根），這是台大的固定風格，策略上不該為了它們犧牲前八題
- 科目自 111 年起稱「數學（A）」，節次第 4 節，與軟體（第 1 節）同一天
本頁的題型、配分、作答形式均直接取自各年度試卷標示；主題出現年度為逐題比對後的整理。若發現有誤，歡迎來信指正。