107 台大資工所數學考點分析

題型與配分

科目「數學」（題號 419、節次 4），全卷 僅 1 頁、10 題、100 分，每題 10 分。

這是台大數學十年來最短的一份考卷（1 頁），但每題都是實打實的計算或判斷。

離散數學考點（1–5，各 10%）

• 第 1 題｜不等式 1 ≤ x₁ + x₂ + … ≤ H 的非負整數解個數（重複組合＋slack variable）
• 第 2 題｜遞迴式 a_n = 2a_n−1 + 3a_n−2（a₀ = 1、a₁ = 1）的解
• 第 3 題｜平方數數列 1², 2², 3², … 的生成函數（答案 x(1+x)/(1−x)³）
• 第 4 題｜|A| = m 時，A 上同時是 reflexive 與 symmetric 的關係有幾個（2^m(m−1)/2）
• 第 5 題｜n 個節點的 simple labeled graph（允許自環）有幾個；以及恰有 m 條邊的有幾個

線性代數考點（6–10，各 10%）

• 第 6 題｜給矩陣 A 與多項式 f(t) = t³ − 3t² + 7t + 2（或類似），求 f(A)。用 Cayley-Hamilton 定理化簡
• 第 7 題｜給一個 companion matrix 形式的 A（次對角線為 −1、最後一行為 a₀…a_n−1），求 det(A + t·I_n)。答案就是特徵多項式
• 第 8 題｜在 P₂(t) 上以 ⟨f,g⟩ = ∫f(t)g(t)dt 為內積，對 {1, t, t²} 做正交化（要求整數係數），並求 t³ 在 V 上的投影
• 第 9 題（全部正確才給分）｜五個線代敘述：兩個特徵向量的和是否仍為特徵向量（假）、A^T = −A 是否蘊含 A 奇異（n 為奇數時才成立）、A² = A 時的冪次公式、A = A^T 是否可對角化（真）、分塊矩陣的反矩陣
• 第 10 題（全部正確才給分）｜五個敘述：{u,v,w} 線性獨立時 {u+v, v+w, w+u} 是否也獨立、相似矩陣是否有相同特徵值（真）／相同特徵向量（假）、tr(B^TA) 是否構成內積（真）、(U+W)⊥ = U⊥ ∩ W⊥（注意題目寫的是 ∪ 還是 ∩）

這份考卷的難點

1. 第 9、10 題合計 20 分「全部正確才給分」，每題五個敘述都要判斷正確 —— 這是全卷風險最高的地方。
2. 第 7 題的 companion matrix 要看出它的特徵多項式形式，硬算 n×n 行列式會非常吃力。
3. 第 5 題要區分「允許自環」與否：n 個節點允許自環的簡單圖有 2^n(n+1)/2 個，不允許則是 2^n(n−1)/2。
4. 第 8 題的正交化要求整數係數，做完 Gram-Schmidt 後還要適當縮放。

準備建議

• 線代的「常見迷思判斷題」（107 第 9、10 題）是台大每年的固定班底（110、111、112 都有），建議把「相似／合同／正交／可對角化」的性質整理成對照表
• Cayley-Hamilton 定理用來計算 f(A) 與 A⁻¹ 是台大高頻技巧（107 第 6 題、110 第 7 題、111 第 8 題）
• 關係的計數公式（reflexive、symmetric、antisymmetric 各自的個數）建議直接背起來
• 生成函數（107 第 3 題）與遞迴式解（第 2 題）是離散數學的必考組合