110 台大資工所數學考點分析｜國立臺灣大學

離散 50%＋線代 50%、繪表填答。第 5 題要證明 Lagrange 定理（群論），是台大數學十年來唯一一次考抽象代數。

題型與配分

科目「數學」（題號 398、節次 4），全卷 2 頁、10 題、100 分，每題 10 分。

作答方式：「Please draw a following table on the first page of the answer sheets and fill in the answers accordingly.」

第 1 題（10%）｜填空：一個圖是二分圖若且唯若它沒有 _____ 長度的環（奇數）；二分圖可以用 _____ 種顏色著色（2）
第 2 題（10%）｜遞迴式 a_n = 3·a_n/2 + 1（a₁ = 1），求 log₂a_n ~ ___ × log₂n（答案 log₂3）
第 3 題（10%）｜二項式隨機漫步從原點出發，恰在 2n 步後第一次回到原點的走法數。這是 Catalan number 的變形
第 4 題（10%）｜二項式係數恆等式 Σ C(...) = C(A, B) 中的 A 與 B（Vandermonde 恆等式）

第 5 題（10%）｜(G, ∘) 為有限群、H 為其子群，證明 |H| 整除 |G| —— 這是 Lagrange 定理，要用陪集（coset）的分割論證。這是台大數學十年來唯一一次考抽象代數的證明

第 6 題（10%）｜(a) 5% W 的維度為 8、U 與 V 是相異的六維子空間，求 dim(U ∩ V)（4，用 dim(U)+dim(V)−dim(U+V)） (b) 5% V 為 2×2 對稱矩陣空間，T : V → P₂(R) 為線性變換，求 rank(T)
第 7 題（10%）｜已知非奇異矩陣 A 的最小多項式 m(t) = t^r + a_r−1t^r−1 + … + a₁t + a₀，求 A⁻¹。用 m(A) = 0 反解
第 8 題（10%）｜解 det(...) = 0 求 t，矩陣是四對角形式
第 9 題（10%，全部正確才給分）｜五個敘述：A 可逆、B³ = 0 且 AB = BA 時 A+B 是否可逆（真）、恰有 N 個非零元素的序列集合是否為子空間（假）、任意方陣能否分解成對稱＋反對稱（真）、相似矩陣是否有相同特徵向量（假）、rank(A−B) 與 rank(A)−rank(B) 的不等式方向
第 10 題（10%，全部正確才給分）｜五個敘述：微分算子在 {sin t, cos t} 上的特徵值（±i，不是 ±1）、F(x,y,z) = (x+1, y+2) 是否線性（假）、兩相異特徵值且 dim(E_λ₁) = n−1 時是否可對角化（真）、行列式的加法分解性質、T 可對角化時 T^m 是否同時可對角化

第 5 題的 Lagrange 定理證明是全卷最意外的一題 —— 台大數學十年只考過這一次群論，要能完整寫出「陪集大小相同且互不相交」的論證。
第 9、10 題合計 20 分「全部正確才給分」，其中第 10(a) 的微分算子特徵值是 ±i（在複數域上）而非 ±1，很容易答錯。
第 3 題的首次回到原點要用 Catalan number 而非直接的中央二項式係數，兩者差一個因子。
第 7 題要用最小多項式反解 A⁻¹：由 m(A) = 0 得 A(A^r−1 + … + a₁I) = −a₀I，所以 A⁻¹ = −(1/a₀)(A^r−1 + … + a₁I)。