110 中正資工所數學考點分析｜國立中正大學

唯一改在第 2 節考的一年。線代 50 分把四大子空間、基底擴充、矩陣分解一次考完，還要求「用文字說明 QR 與 SVD 的成立條件」。

題型與配分

系所組別「資訊工程學系－甲組、乙組」，科目名稱：數學，第 2 節考（108、109、111、112、113 都是第 1 節，110 與 114、115 是第 2 節），本科目共 2 頁、10 題、100 分。

申論卷、寫在答案卷上、無倒扣、限藍黑筆。10 題、每題剛好 10 分，是中正八年來配分最整齊的一份。

第 1 題（12%）｜四大子空間一次考完：給 A 與它的 reduced row echelon form
(a) 3%：null space 的基底
(b) 3%：row space 的基底
(c) 3%：column space 的基底（要注意是取原矩陣 A 的行而非 RREF 的行）
(d) 3%：rank 與 nullity
第 2 題（8%）｜從生成集挑出基底並擴充
(a) 4%：四個向量張成 V 但不是基底，挑出一個子集當基底
(b) 4%：把這組基底擴充成 R⁵ 的基底
第 3 題（10%）｜平面上的正交投影：P 為過原點、由 v₁ 與 v₂ 張成的平面
(a) 5%：求 P 的單位正交基底（Gram-Schmidt）
(b) 5%：求 P 上離 (1,0,0) 最近的點（就是正交投影）
第 4 題（10%）｜基底下的線性變換矩陣
(a) 3%：補出第三個向量使成為單位正交基底 B，並問有幾種選法
(b) 3%：T 交換 v₁ 與 v₃、且以 v₂ 為特徵值 −5 的特徵向量，寫出 [T]_B
(c) 4%：寫出 T 的標準矩陣（以矩陣乘積的形式表示：P[T]_B P⁻¹，而 B 是單位正交基底所以 P⁻¹ = P^T）
第 5 題（10%）｜用文字說明矩陣分解：簡述 (a) QR 分解 與 (b) SVD，並明確寫出各自的成立條件。這是中正少見的「純敘述題」——QR 要求行線性獨立，SVD 則對任意 m×n 實矩陣都成立

第 6 題（10%）｜述詞邏輯真假判斷（論域為全體實數），五個小題各 2 分：∀x∃y(x² = y)（真）、∀x∃y(x = y²)（假，負數沒有實平方根）、∀x(x² ≠ x)（假，x = 0, 1）、∀x(|x| > 0)（假，x = 0）、∃x∃y(x+2y = 2 ∧ 2x+4y = 5)（假，兩式矛盾）
第 7 題（10%）｜模反元素與線性同餘（與 109 第 9 題同型、同模數 233）
(a) 5%：求 72 在模 233 下的反元素
(b) 5%：解 72x ≡ 6 (mod 233)
第 8 題（10%）｜鴿籠原理：從前 10 個正整數中最少選幾個，保證至少三對和為 11（配對成 {1,10}、{2,9}、{3,8}、{4,7}、{5,6} 五組）
第 9 題（10%）｜二進位字串遞迴
(a) 5%：長度 n 且不含兩個連續 0 的字串個數，求遞迴式（a_n = a_n−1 + a_n−2，Fibonacci）
(b) 2%：初始條件（a₁ = 2、a₂ = 3）
(c) 3%：長度 7 的答案（34）
第 10 題（10%）｜補圖的邊數
(a) 5%：G 有 20 邊、Ḡ 有 16 邊，求頂點數（C(n,2) = 36 ⇒ n = 9）
(b) 5%：G 有 x 頂點 y 邊，求 Ḡ 的邊數 = C(x,2) − y

第 1(c) 的 column space 基底是最常錯的一題：要從 RREF 找出 pivot 所在的行編號，然後取原矩陣 A 對應的那幾行——直接拿 RREF 的行是錯的。
第 5 題要「用文字說明條件」，不是計算。很多人會算 QR 與 SVD 但說不清楚「什麼時候存在」：QR 需要 A 的行線性獨立（否則 R 不可逆），SVD 對任何矩陣都存在。這 10 分是純觀念分。
第 4(c) 的「寫出一個矩陣乘積」：答案形式是 P[T]_B P^T，要能說明為什麼 B 是單位正交基底時 P⁻¹ = P^T。
第 6(b) 的 ∀x∃y(x = y²)：論域是實數，x 取負數時無解，所以為假。把論域誤當成非負實數就會全錯。

四大子空間的基底求法（110 第 1 題、112 第 3 題、114 第 3 題）是中正線代出現最多次的題型，務必練到 RREF 一出來就能直接寫答案
述詞邏輯真假判斷（110 第 6 題、112 第 5 題、114 第 5 題）三度出現且題目高度相似——114 第 5 題幾乎是 110 第 6 題的擴充版，把兩份對照著練效益最高
模反元素 mod 233（109、110 連兩年）與鴿籠湊 k 對（108、110、112、114）是中正的固定班底
「說明矩陣分解的條件」（110 第 5 題、112 第 2 題）連兩年出現，要能用文字寫出 QR、SVD、譜分解各自的前提