108 中正資工所數學考點分析

題型與配分

系所組別「資訊工程學系－甲組、乙組」，科目名稱：數學，第 1 節考，本科目共 2 頁、11 題、100 分。

中正數學是申論卷，不是選擇題。 作答寫在試卷（答案卷）作答區內，限用藍色或黑色筆（含鉛筆），試題須隨試卷繳還。全卷沒有倒扣——這一點和中央、台大完全相反，不會也要寫、寫多少算多少。

考試開始後 40 分鐘內不得離場。

線性代數考點（1–5，45%）

• 第 1 題（15%）｜基底變換三連問：S 為 R³ 標準基底，B = {u₁,u₂,u₃}，u₁ = (1,2,1)^T、u₂ = (2,5,0)^T、u₃ = (3,3,8)^T
• (a) 5%：求 B → S 的轉移矩陣（直接把 u 當行排起來）
• (b) 5%：求 S → B 的轉移矩陣（前者的反矩陣）
• (c) 5%：已知 w 相對 S 的座標為 (5,−3,1)^T，求 w 相對 B 的座標
• 第 2 題（10%）｜向量分解：u = (1,1,1)、a = (0,2,−1)
• (a) 求 u 沿著 a 方向的分量（proj_a u）
• (b) 求 u 與 a 正交的分量（u − proj_a u）
• 第 3 題（8%）｜最小平方直線：求 y = ax + b 最貼近 (−2,−11)、(0,−2)、(4,2) 三點
• 第 4 題（7%）｜反向構造對稱矩陣：已知特徵值 λ = 4, 2, 0 與對應特徵向量 v₁ = (1,1,0)^T、v₂ = (0,0,1)^T、v₃ = (−1,1,0)^T，求該 3×3 對稱矩陣。做法是把特徵向量單位化後組成正交矩陣 P，再算 A = PDP^T
• 第 5 題（10%）｜正交補與投影：W 由 w = (1,1,1)^T 張成
• (a) 6%：求 W⊥ 的單位正交基底（W⊥ 是過原點、法向量為 (1,1,1) 的平面）
• (b) 4%：求 v = (1,0,1)^T 投影到 W⊥ 的結果

離散數學考點（6–11，55%）

• 第 6 題（7%）｜集合的 ∈ 與 ⊆ 判斷：0 ∈ {0}、0 ⊆ {0}、{0} ∈ {0,{0}}、{0} ⊆ {0}、{{0}} ⊆ {0,{0}} 等八個小判斷。核心是「元素」與「子集」的區別，以及 ∅、{∅}、{{∅}} 三者的層次
• 第 7 題（8%）｜泥巴小孩謎題（muddy children puzzle）：父親對一男一女說「你們之中至少有一人額頭有泥巴」，然後問兩次「你知不知道自己額頭有沒有泥巴？」問兩次的回答各是什麼。這是知識邏輯（epistemic logic）的經典題——第一次兩人都答 No，第二次因為「對方答了 No」而推得自己也有泥巴，兩人都答 Yes
• 第 8 題（10%）｜取石遊戲（Nim 變形）：22 顆石頭，兩人輪流取 1～4 顆，取到最後一顆者勝。證明先手必勝。關鍵是 22 mod 5 = 2 ≠ 0，先手先取 2 顆留下 20 顆，之後每回合把對手取的數量補足成 5
• 第 9 題（10%）｜鴿籠原理：從 {1,3,5,…,23}（12 個奇數）中最少要選幾個，才能保證至少有三對和為 24。先把和為 24 的數字配成六組 {1,23}、{3,21}、…、{11,13}，再用鴿籠推最壞情況
• 第 10 題（10%）｜解遞迴式：a_n = 2a_n−1 − a_n−2、a₀ = 4、a₁ = 1。特徵方程 (x−1)² 為重根 1，通解 a_n = c₁ + c₂n，代入得 a_n = 4 − 3n
• 第 11 題（5%）｜補圖的邊數：G 有 27 條邊、Ḡ 有 28 條邊，求頂點數。用 C(n,2) = 27 + 28 = 55 ⇒ n = 11

這份考卷的難點

1. 第 7 題的泥巴小孩謎題要寫出完整的「第一輪誰知道什麼、第二輪為什麼改變」推理鏈。這題在 Rosen 課本是例題，但沒讀過就幾乎寫不出來，而且佔 8 分。
2. 第 4 題的反向構造：多數人練的是「給矩陣求特徵值」，這題反過來給特徵值與特徵向量求矩陣。特徵向量必須先單位化，否則 PDP^T 算出來不對稱。
3. 第 8 題要求「證明」而非「算出答案」——要寫出先手的完整策略（先取 2 顆，之後補成 5），並說明為什麼對手怎麼下都無法翻盤。
4. 第 9 題的鴿籠要小心「三對」：不是「至少一對」的標準題型，要考慮最壞情況下已經選了多少個數才湊出第三對。

準備建議

• 中正數學不倒扣、要寫過程，策略與中央完全相反：每一題都要下筆，部分分數很好拿
• Rosen 課本的邏輯謎題（泥巴小孩、說謊者）是中正的特色考點，建議把課本 1.2 節的例題全部看過
• 鴿籠原理「湊出 k 對和為 S」 是中正的招牌題，110、112、114 年連續換數字重出（見十年統整）
• 補圖邊數 C(n,2) = e(G) + e(Ḡ) 這條公式在 108、110、112 年三度出現，是穩定的送分題
• 線代的重心是基底變換、正交投影、最小平方、對稱矩陣的正交對角化四塊，與交大、成大高度重疊