108 台大資工所數學考點分析

題型與配分

科目「數學」（題號 414、節次 4），全卷 3 頁、12 題、100 分。

作答方式：「請在答案卷可作答部分的第一頁繪製十二列的表格並填入各題的答案」—— 這是台大數學十年來反覆使用的形式（108、110、113、114、115）。

離散數學考點（1–7）

• 第 1 題（5%）｜給一張無向圖，寫出四個構成獨立集（independent set）的節點
• 第 2 題（5%）｜長度 n 的二進位迴文數有幾個（2^⌈n/2⌉）
• 第 3 題（5%）｜推導二項式係數等式中的 A、B
• 第 4 題（10%）｜推導另一組二項式係數等式中的 A、B
• 第 5 題（10%）｜遞迴式 a_n+2 = a_n+1 + 2X·a_n 的解為 A(−X)ⁿ + B·Yⁿ，要以任意初始條件 a₀、a₁ 表示 A、B、X、Y
• 第 6 題（10%）｜方程式的正整數解個數，但附帶 x_i > n_i 的下界條件。要先做變數平移再用重複組合
• 第 7 題（5%）｜判斷給定的邏輯式是否為 tautology，並說明理由

線性代數考點（8–12）

第 8–10 題都是「以下五個敘述有幾個正確？」 —— 只問個數不問哪幾個，等於必須全部判斷正確。

• 第 8 題（10%）｜向量空間的基本性質：S ⊆ U 是否蘊含 span(S) ⊆ U（真）、線性相依集合中每個向量是否都在其餘向量的 span 中（假）、任意向量空間是否都有基底（真，需選擇公理）、每個內積空間是否都有正交歸一基底（無限維時要小心）、dim(V) = nullity(T) + rank(T) 在 V 無限維時是否成立
• 第 9 題（10%）｜矩陣的秩與可逆性：齊次方程組的解集合是否為有理向量空間、**A 可逆 ⟺ A\ 可逆、rank(A) = rank(A^T)、nullity(A) 與 nullity(A⁻¹)、det(A\) 與 det(A) 的關係**（共軛）
• 第 10 題（10%）｜可對角化與特徵空間：特徵空間直和是否蘊含可對角化（真）、**正規矩陣（A\A = AA\）的特徵空間、實對稱矩陣的特徵多項式能否分解成實係數一次式（真）、Hermitian 矩陣的特徵值是否為實數（真）、unitarily equivalent 矩陣的 tr(A\*A)**
• 第 11 題（10%）｜給一個 4×4 整數矩陣，問它的反矩陣中有幾個 0
• 第 12 題（10%）｜給出從 R³ 到 R² 的所有線性變換所構成向量空間的一組基底（維度為 6）

這份考卷的難點

1. 第 8–10 題合計 30 分只問「幾個正確」，不能靠部分判斷得分 —— 五個敘述都要對，等於 30 分全是高風險區。
2. 第 8 題涉及無限維向量空間（是否有基底、是否有正交歸一基底、秩零化度定理），超出一般線代課的範圍。
3. 第 11 題要真的算出 4×4 反矩陣再數零的個數，禁用計算器下計算量很大。
4. 第 6 題的正整數解帶下界要先做 y_i = x_i − n_i 的平移，很多人會直接套重複組合公式而出錯。

準備建議

• 「幾個敘述正確」的問法（108 第 8–10 題）比「選出所有正確的」更難，必須對每個敘述都有把握 —— 建議把線代的常見命題整理成「真／假 + 反例」的表
• 正規矩陣、Hermitian、unitary、unitarily equivalent 這組概念要分清楚，台大 108、110、112 反覆出現
• 秩零化度定理在無限維的成立條件是 108 年的陷阱，值得留意
• 台大數學十年間有五年採用「自行繪製表格填答」，練習時就用這個格式作答