108 中興資工所數學考點分析

題型與配分

系所「資訊科學與工程學系 甲組」，科目：基礎數學 A，本科目試題共 2 頁、100 分，不得使用計算機。

是非題「答錯倒扣 1 分」（答對 +2、答錯 −1）——這是中興數學考科的招牌設計，108、110、111 三年都有。亂猜的期望值是 (2−1)/2 = +0.5 分，所以其實值得猜。

中興分甲、乙兩組，是兩份完全不同的卷子。本站只做甲組。

Part I：離散數學（50%）

填空 ①–⑨（各 4%）

• ①②｜分類器的 precision 與 accuracy：10 男 8 女共 18 人，辨識器judged 12 人為男生，其中只有 9 個真的是男生。precision = 9/12、accuracy 要把 TN 一起算（(9 + 5)/18）
• ③｜方程式的整數解個數：y₁ + y₂ + 5y₃ = 12 的正整數解有 7 個，問非負整數解有幾個
• ④⑤｜邏輯式翻譯：把「不存在最大的整數」與「每個整數都有唯一的加法反元素」寫成帶量詞的邏輯式。⑤ 的「唯一」要寫成 ∃! 或 ∃y(... ∧ ∀z(... → z = y))
• ⑥｜河內塔的遞迴式：a_k = 2a_k−1 + 1（a₁ = 1、a₂ = 3）
• ⑦｜貝氏定理：盒 1 有 1 紅 2 藍、盒 2 有 2 紅 3 藍，抽到紅球時來自盒 1 的機率
• ⑧⑨｜位元串計數：長度 10 且 0 比 1 多的個數（對稱性 → (2¹⁰ − C(10,5))/2）、至少 3 個 1 的個數（2¹⁰ − C(10,0) − C(10,1) − C(10,2)）

是非題 1–7（各 2%，答錯倒扣 1 分）

1. 圖的關聯矩陣（incidence matrix）是對稱矩陣（假——關聯矩陣是「頂點 × 邊」，通常不是方陣）
2. |Q| = |Z|（真，有理數可數）
3. 100 人中至少有 9 人同月出生（真，⌈100/12⌉ = 9）
4. (P(S), ⊆) 是偏序集，S = {1,2,4}（真）
5. ¬p → q 是否邏輯等價於 ¬(q → p)
6. 4 個可區分的球放進 3 個不同的盒子有 81 種（假，應為 3⁴ = 81——要看清楚是 3⁴ 還是 4³）
7. TSP 是否是求最小成本的 Euler circuit（假，是 Hamilton circuit）

Part II：線性代數（50%）

• 第 1 題（15%，各 3%）｜線性獨立／相依判斷，橫跨 R³ 與多項式空間 P₂
• (a)(b) R³ 中的三個向量
• (c) {0, x, x²}（相依，含零向量）
• (d)(e) P₂ 中的多項式組（(e) 的 (1+x)³ 其實是 P₃ 的元素——要注意空間）
• 第 2 題（20%）｜給一個含分塊結構的矩陣 A
• (a) 5%：求 A⁻¹
• (b) 5%：驗證 A 是否正定（檢查所有主子式或特徵值）
• (c) 10%：求 P 使 P⁻¹AP 為對角矩陣
• 第 3 題（15%）｜基底下的變換矩陣：T : R² → R³
• (a) 10%：求 T 相對於基底 B = {u₁,u₂} 與 B′ = {v₁,v₂,v₃} 的矩陣
• (b) 5%：用 (a) 的矩陣計算 T 對某個向量的像——題目明確要求「use the matrix obtained in (a)」，不能直接代原公式

這份考卷的難點

1. 是非題有倒扣但期望值為正——很多人看到倒扣就全部空白，等於白白放棄。答對 +2、答錯 −1，只要把握度超過 1/3 就該填。
2. 填空 ⑧ 的「0 比 1 多」要用對稱性：長度 10 的位元串中，0 多於 1、1 多於 0、兩者相等三種情形，中間那種是 C(10,5)，所以答案是 (2¹⁰ − C(10,5))/2 = (1024 − 252)/2 = 386。
3. Part II 第 1(e) 的空間陷阱：(1+x)³ 展開後是三次多項式，但題目說是在 P₂ 裡——要先指出這組向量根本不在該空間中。
4. 第 2(b) 的正定判斷在禁用計算器下，用順序主子式全為正比算特徵值快得多。

準備建議

• 是非題 1–7 在 110 年原封不動重出（連文字都一樣），把 108 練熟等於 110 年先拿 14 分
• precision／accuracy／recall 是中興獨有的跨領域考點，108、111、114、115 四年都出現
• 河內塔遞迴、貝氏定理、位元串計數是中興離散的固定三件套
• 線性獨立判斷要跨到多項式空間與矩陣空間（108、114 都考），不能只練 Rⁿ
• 中興甲組的數學科名稱歷年在「基礎數學 A」與「離散數學與線性代數」之間變動，但都是同一條線的卷子