109 中興資工所數學考點分析

題型與配分

系所「資訊科學與工程學系 甲組」，科目：基礎數學 A，本科目試題共 2 頁、10 題、100 分，不得使用計算機。

109 年是中興數學唯一一份「全部申論、沒有選擇題、沒有倒扣」的甲組考卷。108、110、111 都有選擇題與倒扣的是非題，112–113 改成申論，114–115 又變回選擇題為主——中興的題型八年來反覆震盪。

逐題考點

• 第 1 題（7%）｜推導特徵多項式：對 n×n 矩陣 A，推導 char poly det(A − λI)。注意題目說的是「derive」——要寫出推導而不只是寫下定義
• 第 2 題（10%）｜超平面的單位正交基底：W ⊆ R⁴ 是滿足 2x₁ − x₃ + 4x₄ = 0 的向量集合（三維子空間），求其單位正交基底（先解出三個自由變數的基底再做 Gram-Schmidt）
• 第 3 題（7%）｜線性微分方程組：dx/dt = 3x − 4y、dy/dt = 2x − 3y，x(0) = 1、y(0) = 0。用矩陣對角化解——把係數矩陣的特徵值求出後寫成 e^At
• 第 4 題（5%）｜正交變換是否存在：給定 T 要把三個向量分別送到三個指定向量，說明是否存在這樣的正交變換。判準是正交變換保長度與內積，逐一驗算 ‖v_i‖ = ‖w_i‖ 與 ⟨v_i,v_j⟩ = ⟨w_i,w_j⟩
• 第 5 題（15%）｜一題三問：給 4×5 矩陣 A
• (a) 求 RREF 與 rank
• (b) 求 LU 分解（下三角 L 與上三角 U）
• (c) 求 null space
• 第 6 題（6%）｜把某個向量表示成 A 與另一個向量的線性組合
• 第 7 題（10%）｜大數模運算：求 43³² mod 11。先化簡 43 ≡ 10 ≡ −1 (mod 11)，所以 43³² ≡ (−1)³² = 1
• 第 8 題（10%）｜列出所有子集：A = {7, 8, 9}，列出全部 2³ = 8 個子集（含 ∅ 與 A 本身）——是全卷最好拿的 10 分
• 第 9 題（15%）｜最小支配集（minimum dominating set）：對給定的圖找出最小的頂點集合，使圖中每個頂點要嘛在集合內、要嘛與集合中的某點相鄰。要說明為什麼不能更小
• 第 10 題（15%）｜質數階群的子群：|G| = p（p 為質數），問 G 可以有幾種不同大小的子群。由 Lagrange 定理，子群階數必整除 p，所以只能是 1 或 p → 兩種

這份考卷的難點

1. 第 10 題考群論——這在資工所數學考科極為罕見（八所裡只有中興考過）。要知道 Lagrange 定理：子群的階必整除群的階。質數階群是循環群，只有平凡子群。
2. 第 3 題的微分方程組是工程數學的內容，不在標準的「離散＋線代」範圍內。解法是把它寫成 x′ = Ax，求 A 的特徵值 λ₁、λ₂ 後寫出通解，再代入初始條件。
3. 第 9 題的最小支配集是 NP-hard 問題，但小圖可以窮舉。得分關鍵是證明最小性——找到一個大小 k 的支配集還不夠，要說明 k−1 個頂點為何不可能。
4. 第 5 題一次考 RREF、LU、零空間三件事，佔 15 分。LU 分解若遇到主元為 0 需要換列，要說明。

準備建議

• 109 年的題型（全申論）與 112、113 年一致，而 108、110、111、114、115 都以選擇題為主。兩種形式都要準備
• 大數模運算是中興的固定考點（109 第 7 題、111 第 9 題的同餘運算律、115 第 5 題的中國剩餘定理），費馬小定理與「先化簡底數」是兩大工具
• LU 分解（109 第 5 題、110 甲組計算題、111 第 9 題是非）在中興出現三次，是本校線代的特色考點
• 圖論的支配集、最小生成樹、著色（109、110）比其他學校更常出現
• 群論（Lagrange 定理）只在 109 年出現一次，屬於低機率考點，但若時間充裕值得看一眼