109 台大資工所數學考點分析

題型與配分

科目「數學」（題號 408、節次 4），全卷 3 頁、11 題、100 分。

作答方式：「請於試卷內之『非選擇題作答區』標明題號依序作答」—— 與 108、110 的繪製表格不同。

離散數學考點（1–6）

• 第 1 題（5%）｜方程式在 a_i ≤ x_i ≤ b_i 的上下界限制下，其整數解個數的生成函數（要寫成 x^r 的係數形式）
• 第 2 題（5%）｜從 {1,…,n} 到 {1,…,m}（或其冪集）的函數個數
• 第 3 題（10%）｜n = 4、r = 8 時方程式的非負整數解個數（重複組合 C(11,3) = 165）
• 第 4 題（10%）｜非齊次遞迴式 a_n = 3a_n−1 + n（a₁ = 1）的解。要用特解＋齊次解
• 第 5 題（10%）｜承上題遞迴式的部分分式分解生成函數。題目特別註明「像 (x−8)/(x−3)² 這種形式不算部分分式分解」
• 第 6 題（10%）｜證明一個 n ≥ 2 的不等式

線性代數考點（7–11，各 10%）

• 第 7 題｜四次多項式 f(x) = ax⁴+bx³+cx²+dx+e 在五個點的值已知，求 a, b, c, d, e。這是 Vandermonde 插值
• 第 8 題｜給矩陣 B，求 BB^T − λI 在 λ = 0, 1, 2, 3, 4 時各自的 nullity。要先算出 BB^T 的特徵值與其重數
• 第 9 題｜給矩陣 A 與條件（B 在某子空間 U 上等於 A、在 U 外為 0），問矩陣 B 中元素 −2, −1, 0, 1, 2 各有幾個
• 第 10 題｜給 A，求滿足 ABA = A、BAB = B、(AB)^T = AB、(BA)^T = BA 的矩陣 B（這四個條件正是 Moore-Penrose 偽逆的定義），問 B 中元素 −2, −1, 0, 1, 2 各有幾個
• 第 11 題｜求給定矩陣的 Jordan normal form，並問其中元素 0, 1, 2, 3, 4 各有幾個

這份考卷的難點

1. 第 9、10、11 題都是「數矩陣中某些元素的個數」（合計 30 分），必須把整個矩陣完整算出來才能回答 —— 算對一半也沒有分數。
2. 第 10 題考的是 Moore-Penrose 偽逆的四個定義條件，如果認不出來就會以為要解一個複雜的矩陣方程。
3. 第 5 題明文排除了「非真正的部分分式」，要真的拆成 A/(x−r₁) + B/(x−r₂) 的形式。
4. 第 11 題的 Jordan form 要先算特徵值、再算各特徵值的幾何重數與 Jordan 塊大小。

準備建議

• Moore-Penrose 偽逆的四個條件（109 第 10 題、106 第 5 題）在台大出現兩次，定義與計算方式都要熟
• Jordan normal form 的求法（特徵值、廣義特徵向量、塊的大小）是線代進階內容，台大 109 直接考
• 非齊次遞迴式（109 第 4 題）的解法（齊次解＋特解）要與齊次的情形分清楚
• 部分分式分解是台大數學的固定考點（109、111、112 都考），要能拆到最簡形式