109 成大資工所數學考點分析

題型與配分

編號 205，系所「電機資訊學院－資訊聯招」，考試科目：計算機數學，考試日期 109 年 2 月 10 日第 3 節，全卷 2 頁、6 題、100 分，不可使用計算機。

線性代數考點（1–3）

• 第 1 題（25%，5 小題各 5%）｜是非題：
• (a) rank(A) = rank(B) 是否蘊含 rank(A²) = rank(B²)（假）
• (b) L 的標準矩陣為 A 時，L² 的標準矩陣是否為 A²（真）
• (c) 兩個線性算子的和是否仍是線性算子（真）
• (d) N(A) = {0} 時 Ax = b 是否有唯一最小平方解（真）
• (e) {u₁,…,u_k} 為 Rⁿ 中的正交歸一集合時，UU^T 是否等於 I_n（假，除非 k = n）
• 第 2 題（10%）｜求 3×3 矩陣 A 的 Gram-Schmidt QR 分解
• 第 3 題（15%）｜計算 e^At（矩陣指數乘上純量 t）

離散數學考點（4–6）

• 第 4 題（10%）｜判斷並說明理由：「畢業後 49 天內每天至少投一份履歷、總共不超過 70 份，則必存在連續幾天恰好投出 27 份」。這是鴿籠原理的經典應用（造 a₁…a₄₉ 與 a₁+27…a₄₉+27 共 98 個數落在 1..97 中）
• 第 5 題（20%）｜n×n 的雙對角矩陣（主對角 x、次對角 y）的行列式 D_n：(a) 6% 求 D_n 的遞迴關係 (b) 7% y = x 時 D_n 的封閉式 (c) 7% y = 2x 時 D_n 的封閉式
• 第 6 題（20%）｜若 G 與 Ḡ 為互補圖且頂點數 ≥ X，則 G 或 Ḡ 至少有一個是非平面圖：(a) 10% 求 X 的值（11） (b) 10% 說明理由（用 e ≤ 3v−6：兩圖邊數和為 C(v,2)，若都平面則 C(v,2) ≤ 2(3v−6)，解得 v ≤ 10）

這份考卷的難點

1. 第 6 題（20 分）的互補圖非平面證明是全卷最漂亮的一題，要同時用平面圖的邊數上界與互補圖的邊數關係。
2. 第 4 題的鴿籠原理要能設計出正確的「鴿子」與「籠子」—— 這是離散數學最需要靈感的題型。
3. 第 5 題的三題連動：(a) 的遞迴式錯了，(b)(c) 全錯。而且 y = x 與 y = 2x 兩種情況的特徵方程解不同（重根 vs 相異根）。
4. 第 1(a) 的反例：rank 相同但平方後 rank 不同 —— 例如一個冪零矩陣與一個投影矩陣。

準備建議

• 鴿籠原理（109 第 4 題）是成大、交大都愛考的題型，練習「如何構造鴿子與籠子」
• 平面圖的 e ≤ 3v−6 及其推論（109 第 6 題）在成大、交大 111/113 都出現
• 三對角／雙對角矩陣行列式的遞迴（成大 106、109 連兩次）是固定考點
• 矩陣指數 e^At（109 第 3 題）在成大 108、109、112 都考過，要熟練對角化的做法