111 台大資工所數學考點分析

題型與配分

科目「數學（A）」（題號 362、節次 4），全卷 2 頁、12 題、100 分。

這是台大數學第一次全部改成選擇題（A–E 五選項），112 年延續，113 年起又改回填表。

離散數學考點（1–5，各 10%）

• 第 1 題｜四個圖中哪一個有 Eulerian cycle（判斷所有頂點度數是否皆為偶數且連通）
• 第 2 題｜遞迴式 a_n = a_n−1 + 6a_n−2 以 a₀ = A、a₁ = B 表示的解。特徵根為 3 與 −2
• 第 3 題｜承上遞迴式的部分分式分解生成函數
• 第 4 題｜x₁ + x₂ + … + x_n = r 的正整數解個數（C(r−1, n−1)）
• 第 5 題｜|A| = m 時，A 上的 non-symmetric 關係有幾個。要用「全部 − symmetric」：2^m2 − 2^(m2+m)/2

線性代數考點（6–12）

• 第 6 題（5%）｜A 與 B 相似時，四個敘述有幾個為真：A⁻¹ 與 B⁻¹ 是否相似、是否有相同特徵值、是否代表不同基底下的同一個變換、nullity 是否相同（全部為真）
• 第 7 題（5%）｜正交矩陣的四個敘述有幾個為真：反矩陣是否正交、乘積是否正交、「行向量正交歸一的矩陣是否可逆」（非方陣時不成立）、A + iB 為 unitary 時 A^TB 是否對稱
• 第 8 題（5%）｜A² + 4A + 6I = O 時，若 (A + 3I)⁻¹ = aA + bI，求 2a + b。用 Cayley-Hamilton 型的配方
• 第 9 題（5%）｜以 S = {(t−1)³, (t−1)², (t−1), 1} 為基底時，5t³−4t²+3t−2 的座標 (a,b,c,d) 之和。用泰勒展開在 t = 1 附近
• 第 10 題（10%）｜給一個矩陣 A，求最大的特徵值
• 第 11 題（10%）｜給 A，求滿足 B³ = A 且 B 有實特徵值的矩陣 B。這是矩陣的立方根
• 第 12 題（10%）｜給兩個由四個向量張成的 R⁵ 子空間 U 與 W，求 dim(U ∩ W)

這份考卷的難點

1. 第 11 題的矩陣立方根是全卷最難的一題：要先把 A 對角化（或找 Jordan form），對特徵值開立方根後再變回去。
2. 第 6、7 題只問「有幾個為真」，等於五個敘述都要判斷正確。第 7 題的「行向量正交歸一的矩陣是否可逆」是陷阱 —— 非方陣時不可逆。
3. 第 5 題的 non-symmetric 關係計數要理解「non-symmetric」不等於「antisymmetric」，是「不是 symmetric」。
4. 第 12 題求兩個子空間交集的維度要先各自求出基底、再解聯立或用 dim(U)+dim(W)−dim(U+W)。

準備建議

• 111、112 兩年是全選擇題，其餘年度多為填表 —— 但題型本身高度重複（遞迴式、部分分式、關係計數、線代判斷），練習重點不變
• 矩陣的函數（平方根、立方根、指數、多項式）建議透過對角化統一理解
• Cayley-Hamilton 的應用（求反矩陣、化簡高次冪）是台大每年的固定技巧
• 關係計數的三個公式（reflexive、symmetric、antisymmetric）與其組合要背熟，106、107、111 連續出現