111 中興資工所數學考點分析

題型與配分

系所「資訊工程學系 甲組」，科目名稱：基礎數學 A，本科目試題共 2 頁，全卷 100 分，不得使用計算機。

PART II 的是非題「答錯倒扣一分」——這是中興數學考科唯一出現倒扣的地方。十題各 2 分，答錯 −1 分，亂猜的期望值是 (2−1)/2 = +0.5 分，所以其實值得猜；但若能排除一半錯誤選項，期望值會更高。

這是資料庫中唯一一份「甲組」的基礎數學。114 年甲組已無數學科，115 年甲組改考「離散數學與線性代數」。

PART I：離散數學（50%）

選擇題（1–10，各 2%）

• 第 1 題｜位元串計數：長度 8 且「以 1 開頭 或 以 00 結尾」的位元串有幾個 → 排容原理 2⁷ + 2⁶ − 2⁵ = 160
• 第 2 題｜偏序關係的三個性質：reflexive、antisymmetric、transitive（不是 symmetric）
• 第 3 題｜找出與 ¬p → q 等價的命題
• 第 4 題｜哪些數在 Z₁₁ 中有乘法反元素 → 11 是質數，1–10 全部都有
• 第 5 題｜哪個是質數：2⁷−1 = 127（質數）、2⁸−1 = 255、2⁹−1 = 511 = 7×73、2¹⁰−1 = 1023
• 第 6 題｜分類器的 precision 與 accuracy：12 人（6 男 6 女），辨識器說有 8 個男生，其中 5 個真的是男生 → precision = 5/8，accuracy 要把 TN 也算進去
• 第 7 題｜冪集合：A = {a,b,c} 時 |P(A)| = 8、∅ ∈ P(A)（而非 ⊆ 的陷阱）、A ∈ P(A)
• 第 8 題｜與自然數同基數的集合：Z⁺、Z、Q 都可數，R 不可數
• 第 9 題｜同餘的運算律：a ≡ b、c ≡ d (mod m) 時哪一條等式成立
• 第 10 題｜正則圖：度數 4、10 條邊的正則圖有幾個頂點 → 4n/2 = 10 ⇒ n = 5

計算題（1–6，各 5%）

• 第 1 題｜遞迴定義的集合：basis 是 2 ∈ S，recursive 是「x, y ∈ S ⇒ x+y ∈ S 且 x−y ∈ S」，問 S 是什麼集合 → 所有偶數
• 第 2 題｜河內塔的遞迴式：用 a_n−1 表示 a_n → a_n = 2a_n−1 + 1
• 第 3 題｜鴿籠原理：從 52 張牌至少抽幾張才保證至少 4 張紅心 → 39 + 4 = 43
• 第 4 題｜重複組合：從 1 元、2 元、5 元鈔票中取 5 張，可能湊出幾種不同的金額（注意問的是「不同的值」而非組合數）
• 第 5 題｜貝氏定理：8% 的病人感染，感染者 98% 驗出陽性、未感染者 3% 也驗出陽性。求驗出陽性但實際未感染的機率 → (0.92×0.03)/(0.08×0.98 + 0.92×0.03)
• 第 6 題｜反身關係的計數：4 元素集合上的反身關係有幾個 → 對角線固定為 1，其餘 12 個位置自由 → 2¹²

PART II：線性代數（50%）

是非題（1–10，各 2%，答錯倒扣 1 分）

• 第 1 題｜一個 3×3 特殊行列式（各列為 b+c、c+a、a+b 形式）的值
• 第 2 題｜外積：u = (1,2,−1)、v = (3,0,1)，驗證 u × v = (2,−4,−6)（題目給的是 (2,7,−5)）
• 第 3 題｜某 2×2 矩陣是否沒有實特徵值
• 第 4 題｜秩—零化度定理：dim(range T) + dim(null T) = dim(domain)（真）
• 第 5 題｜「若 V 的維度為 k，則每個生成集恰有 k 個向量」（假——生成集可以更多）
• 第 6 題｜某矩陣是否不可對角化
• 第 7 題｜某線性變換是否為一對一
• 第 8 題｜「每個對稱矩陣都可寫成正交投影矩陣的和」（真——這就是譜分解）
• 第 9 題｜某矩陣是否沒有 LU 分解（主元為 0 時確實需要換列）
• 第 10 題｜判斷 x₁² − 7x₂² + 4x₁x₂x₃ 是否為二次型 → 假，x₁x₂x₃ 是三次項

選擇題（1–5，各 4%）

• 第 1 題｜正交矩陣的性質：det P = ±1（真）、PQ 仍正交（真）、P⁻¹ 正交（真）、Q^T 正交（真）
• 第 2 題｜哪些向量是 u = (1,−1,3i) 與 v = (2i,4i,0) 的線性組合（複數係數）
• 第 3 題｜求 P₂ 上線性算子 T 的特徵值
• 第 4 題｜找出矩陣的 pivot 位置
• 第 5 題｜哪些集合在歐氏內積下構成單位正交集

計算題（10%）

• 求某方程組的最小平方解

這份考卷的難點

1. PART II 的是非題有倒扣，而且題目橫跨行列式、外積、特徵值、秩—零化度、對角化、譜分解、LU 分解、二次型——覆蓋整個線代課程。第 8 題的「對稱矩陣 = 正交投影矩陣之和」就是譜分解 A = Σλ_iu_iu_i^T 的另一種說法，看不出來就答不對。
2. 第 6 題（PART I）的 precision／accuracy 是機器學習的評估指標，出現在離散數學考卷裡很突兀。要記得 precision = TP/(TP+FP)、recall = TP/(TP+FN)、accuracy = (TP+TN)/總數。
3. 計算題第 4 題「有幾種不同的值」：不是問取法的組合數，而是問可能的總金額有幾種，要真的列出所有可達金額再去重。
4. 第 5 題（PART I）的質數判斷要手算：2⁹−1 = 511 = 7 × 73、2⁸−1 = 255 = 3×5×17、2¹⁰−1 = 1023 = 3×11×31，只有 2⁷−1 = 127 是質數（Mersenne 質數的指數必為質數，但反之不成立）。

準備建議

• precision／recall／accuracy 在 111 與 115 兩次出現（115 甲組第 10 題把它擴充成 F1-score 與 specificity），是中興獨有的跨領域考點
• 同餘、乘法反元素、費馬小定理、RSA 是中興數學的固定班底（111、114、115 三年皆有）
• PART II 的是非題有倒扣但期望值為正（答對 +2、答錯 −1），不確定時仍值得猜
• 線代的重心是「性質判斷」而非計算：秩—零化度、對角化條件、LU 分解存在性、正交矩陣性質、譜分解——把這幾個定理整理成判斷卡最有效率
• 中興資料庫只公開 111–115 五個年度，且各年考科不同，報考前務必確認當年簡章