114 台大資工所數學考點分析｜國立臺灣大學

十題填表、每題 5 或 10 分。第 8 題用內積空間的矩陣表示與 Fourier 係數佔 20 分，第 9 題的結構化矩陣特徵值乘積是十年最巧的一題。

題型與配分

科目「數學（A）」（題號 296、節次 4），全卷 2 頁、10 題、100 分。

作答方式：「請先在試卷第一頁繪製以下表格，然後將答案填入。」表格為 (A)、(B) 兩欄共十列。

區段	題號	配分
離散數學	1–6	50%
線性代數	7–10	50%

第 1 題（5%）｜四個有向圖中哪些是 Eulerian（有向圖要求每個頂點的 in-degree = out-degree 且強連通）
第 2 題（5%）｜給一個布林式，求滿足的真值指派個數
第 3 題（10%）｜從 {A,B,C,D} 到 {1,2,3,4,5} 的二元關係有 N 個，求 N mod 13。N = 2²⁰，要用模運算降冪
第 4 題（10%）｜遞迴式 a_n = −3a_n−1 + 10a_n−2（a₀ = 3、a₁ = 2）的解。特徵根為 2 與 −5
第 5 題（10%）｜承上的部分分式分解生成函數
第 6 題（10%）｜x₁ + x₂ + x₃ + x₄ ≤ 7 的非負整數解個數（與 112 年第 4 題完全相同）

第 7 題（10%，全對才給分）｜哪些集合是線性獨立的：(A) P₃(R) 中的三個多項式 (B) M_2x2(R) 中的矩陣集合等
第 8 題（20%）｜V = P₃(R)，內積定義為 ⟨f,g⟩ = ∫₀¹ f(x)g(x)dx：
(A) 10%｜求在基底 {1, x, x², x³} 下使 ⟨f,g⟩ = [f]^TA[g] 成立的矩陣 A。這是 Hilbert 矩陣，A_ij = 1/(i+j−1)
(B) 10%｜求某個向量沿某方向的 Fourier 係數（即正交投影的係數）
第 9 題（10%）｜給一個 n×n 矩陣 A，其形式為主對角線全 1、其餘位置為 a 的冪次（結構化矩陣），求所有特徵值的乘積（即 det(A)）的最簡形式
第 10 題（10%）｜給矩陣 A 與多項式 f(x) = x⁴ − 7x³ + 13x² − 6x + 1，求 f(A) 的最大特徵值。關鍵：f(A) 的特徵值是 f(λ_i)

第 8 題佔 20 分，是全卷最大的單題。(A) 要認出 Hilbert 矩陣（積分 ∫x^i+jdx = 1/(i+j+1)），(B) 要做正交投影。
第 9 題的結構化矩陣要看出它可以透過列運算化成上三角，或認出它是某種 Toeplitz 型矩陣，硬展開 n×n 行列式做不完。
第 10 題的關鍵洞察：不需要算出 f(A) 這個矩陣，只要算出 A 的特徵值 λ，再代入 f(λ) 取最大即可。
第 3 題的 2²⁰ mod 13 要用費馬小定理（2¹² ≡ 1 mod 13）降冪。