114 中正資工所數學考點分析

題型與配分

系所組別「資訊工程學系－甲組、乙組」，科目名稱：數學，第 2 節考，本科目共 2 頁、8 大題、100 分。

申論卷、寫在答案卷上、無倒扣、限藍黑筆。113 年的複選題形式只出現一年，114 年全部回到申論。

線性代數考點（1–4，50%）

• 第 1 題（10%）｜由兩個像求標準矩陣：T : R² → R²，已知 T([1,1]^T) = [1,−2]^T 與 T([2,3]^T) = [−2,5]^T，求標準矩陣 A。做法是把 (1,0) 與 (0,1) 用這兩個向量線性組合表示出來（(1,0) = 3(1,1) − (2,3)、(0,1) = (2,3) − 2(1,1)）
• 第 2 題（10%）｜多項式空間的基底：V 是 P₄ 中由 S = {v₁,v₂,v₃,v₄} 張成的子空間，其中 v₁ = t⁴+t²+2t+1、v₂ = t⁴+t²+2t+2、v₃ = 2t⁴+t³+t+2、v₄ = t⁴+t³−t²−t，求 V 的一組基底。做法是把每個多項式寫成 (t⁴, t³, t², t, 1) 的係數向量再做 RREF
• 第 3 題（15%）｜列空間與行空間的基底：給 4×5 矩陣 A，求 row space 與 column space 的基底。一樣要注意 column space 的基底取原矩陣的 pivot 行
• 第 4 題（15%）｜驗證對角化並求高次冪：A = [[−1,7,−1],[0,1,0],[0,15,−2]]、P = [[1,1,1],[0,0,1],[1,0,5]]。先驗證 P 確實把 A 對角化（算 P⁻¹AP 是否為對角），再用 A¹¹ = PD¹¹P⁻¹ 求出結果。A 的特徵值是 −1、1、−2（三角結構可直接讀出），所以 D¹¹ 的對角線是 −1、1、−2048

離散數學考點（5–8，50%）

• 第 5 題（16%）｜八個量詞敘述的真假（論域為全體實數），每題 2 分：
• (a) ∀x∃y(x² = y)（真，y 取 x²）
• (b) ∀x∃y(x = y²)（假，x 為負數時無解）
• (c) ∀x(x² ≠ x)（假，x = 0 或 1）
• (d) ∀x(|x| > 0)（假，x = 0）
• (e) ∃x∃y(x+2y = 2 ∧ 2x+4y = 5)（假，兩式平行矛盾）
• (f) ∀x∃y(x+2y = 2 ∧ 2x+4y = 5)（假）
• (g) ∀x∀y(x+2y = 3 ∧ 2x+4y = 6)（假，不是對所有 x,y 成立）
• (h) ∃x∃y(x+2y = 2 ∧ 2x+3y = 3)（真，兩式獨立有唯一解 x = 0, y = 1）
• (e)(f)(g)(h) 四小題的差別只在係數與量詞——要逐題判斷方程組是矛盾、相依還是獨立
• 第 6 題（9%）｜鴿籠原理：從前 12 個正整數中最少選幾個，保證至少三對和為 15，並且要說明做法。注意這次的配對是 {3,12}、{4,11}、…、{7,8} 共五組，而 1、2 兩數配不出 15——這是與 112 年（和為 13）最大的差別，不能直接套上一年的答案
• 第 7 題（13%）｜非齊次一階遞迴：a_n − 2a_n−1 = 1、a₀ = 1（與 109 第 7 題完全相同）。解為 a_n = 2ⁿ⁺¹ − 1
• 第 8 題（12%）｜圖論兩小題
• (a) 6%：判斷兩張圖是否同構——若是要給出頂點對應關係，若否要詳細說明理由（比對度數序列、圈長分布等不變量）
• (b) 6%：在完全圖 K₅ 中，求任兩頂點之間長度為 6 的路徑數。做法是算鄰接矩陣 A⁶ 的元素，或用遞迴 w_k = 3w_k−1 + 4w_k−2 型的閉式

這份考卷的難點

1. 第 6 題的「和為 15」陷阱：前 12 個正整數中，1 和 2 無法與任何數配成 15（最大只能配到 12+3），所以可配對的只有 {3,12}…{7,8} 五組，最壞情況要把 1、2 也算進去。直接套 112 年的解法會錯。
2. 第 4 題要先「驗證」再「計算」：很多人跳過驗證直接算 A¹¹，但題目明寫 Confirm that P diagonalizes A，這一步有配分。
3. 第 5(g) 的 ∀x∀y(...)：即使方程組 x+2y=3 與 2x+4y=6 是相依的（有無窮多解），也不是「對所有 x, y 都成立」，所以為假。相依 ≠ 恆真是這題的核心。
4. 第 2 題的多項式基底要正確設定座標順序（t⁴, t³, t², t, 1），任何一個係數抄錯整題都會崩。

準備建議

• 114 第 5 題與 110 第 6 題高度重疊（(a)(b)(c)(d)(e) 五小題幾乎一字不差），把 110 那份練熟等於先拿 10 分
• 114 第 7 題與 109 第 7 題是同一題（a_n − 2a_n−1 = 1、a₀ = 1）——中正的遞迴題重複率極高
• 鴿籠「湊 k 對和為 S」四度出現（108 和 24、110 和 11、112 和 13、114 和 15），但每次的可配對組數不同，一定要重新數一次
• A^k 一律走 PD^kP⁻¹（109 第 5(c)、114 第 4 題），並且要會從三角矩陣直接讀出特徵值
• 圖同構的判定（111 第 7 題、114 第 8(a) 題）要準備三個不變量：度數序列、最短圈長、連通分量數