112 台大資工所數學考點分析

題型與配分

科目「數學（A）」（題號 348、節次 4），全卷 2 頁、11 題、100 分。

作答方式：「請用 2B 鉛筆作答於答案卡，並先詳閱答案卡上之『畫記說明』」—— 這是台大數學十年來唯一一次用答案卡。

第 6–11 題明訂：「each problem may have multiple answers. Credits will be given only if all the answers are selected correctly.」

離散數學考點（1–5，各 10%）

• 第 1 題｜四個圖中哪一個沒有 Hamiltonian cycle（與 111 年第 1 題的 Eulerian 成對）
• 第 2 題｜遞迴式 a_n = −2a_n−1 + 6a_n−2（或 a_n−1 + 6a_n−2）以 a₀ = A、a₁ = B 表示的解
• 第 3 題｜承上的部分分式分解生成函數
• 第 4 題｜x₁ + x₂ + x₃ + x₄ ≤ 7 的非負整數解個數（C(11,4) = 330）。注意是不等式，要加 slack variable
• 第 5 題｜|A| = 2⁴、|B| = 2³ 時，從 A 到 B 的函數個數（(2³)²⁴ = 2⁴⁸）

線性代數考點（6–11，全對才給分）

• 第 6 題（10%）｜給 A 與 x，求 Aⁿx 的形式中的參數 —— 要對角化後求冪次
• 第 7 題（10%）｜給 P₂(R) 上的線性變換 T，M 為其在某組基底下的矩陣表示，求 det(M⁻¹ + 2I)
• 第 8 題（10%）｜trace 的性質：tr((A+B)C) 的分配性（真）、tr(AB) = tr(A)tr(B)（假）、tr(AB) = tr(BA)（真）、trace 為零的 2×2 矩陣何時有實特徵值、A³ = I 且 A ≠ I 時 tr(A) 的值
• 第 9 題（5%）｜對稱矩陣 S、對角矩陣 D、正交矩陣 Q 的自由度（degree of freedom） d_S、d_D、d_Q，求 d_S − d_Q − d_D。（d_S = n(n+1)/2、d_D = n、d_Q = n(n−1)/2，答案為 0）
• 第 10 題（5%）｜五個敘述：N(A) = N(A^TA)（真）、A 正交時 A+I 是否可逆（假）、相異特徵值少於 n 是否就不可對角化（假）、實對稱矩陣的特徵值與特徵向量性質（真）、正定矩陣能否寫成 U² 的形式
• 第 11 題（10%）｜自伴算子（self-adjoint operator）的譜分解定理：T 有相異特徵值 λ₁…λ_k，E_i 為特徵空間、T_i 為 V 到 E_i 的正交投影，判斷五個敘述 —— Σλ_i T_i = T（真）、V = E₁ ⊕ … ⊕ E_k（真）、任意多項式 g 的 g(T) = Σg(λ_i)T_i（真）、特徵值是否全為實數（真）、T(x) = λx 是否蘊含可對角化

這份考卷的難點

1. 第 11 題的譜分解定理（10 分）是全卷最理論的一題，要對自伴算子的完整性質有掌握，而且五個敘述全對才給分。
2. 第 9 題的「自由度」是很少見的問法：要算出各類矩陣的獨立參數個數（對稱 n(n+1)/2、正交 n(n−1)/2、對角 n）。
3. 第 8(E) 的 A³ = I 且 A ≠ I：此時 A 的特徵值是 1 的三次方根，2×2 實矩陣的話是 ω 與 ω̄，trace = −1（不是 1）。
4. 答案卡作答且全對才給分，六題合計 50 分完全沒有部分分數。

準備建議

• 112 年是唯一用答案卡的一年，但「全對才給分」的複選精神與其他年度的填表題一致 —— 每個選項都要有把握
• 譜分解定理（spectral theorem）與自伴／正規算子的性質，是台大線代最深的一塊（108、112 都考）
• trace 的性質（tr(AB) = tr(BA) 但 ≠ tr(A)tr(B)）是必考的基本功
• 111 與 112 的離散題完全對應：111 考 Eulerian、112 考 Hamiltonian；111 考正整數解、112 考不等式的非負整數解 —— 兩年建議成對練習