112 成大資工所數學考點分析｜國立成功大學

十題各 10 分、結構最整齊的一年。離散五題涵蓋迴文求和、生成函數、雙射計數、遞迴與整除，線代則回到基本的座標、內積與秩。

題型與配分

編號 204，系所「電機資訊學院－資訊聯招」，科目：計算機數學，考試日期 112 年 2 月 6 日第 3 節，全卷 2 頁、10 題、100 分，不可使用計算機。

區段	題號	配分
一、離散數學	1–5	50%（每題 10 分）
二、線性代數	6–10	50%

第 1 題｜100 到 999 之間的三位數迴文數（如 131、222、303），不實際列舉求它們的總和。技巧：迴文數形如 aba = 101a + 10b，a 從 1 到 9、b 從 0 到 9
第 2 題｜數列 1, 1, 1, …, 1, 0, 0, 0, …（前 n+1 項為 1）的生成函數（(1−xⁿ⁺¹)/(1−x)）
第 3 題｜|A| = |B| = m 時，從 A 到 B 的雙射函數有幾個（m!）
第 4 題｜解非齊次遞迴式 a_n+2 − 5a_n+1 + 6a_n = 2（a₀ = 3、a₁ = 7）。特徵根 2、3，特解為常數
第 5 題｜若 2a + 3b 是 17 的倍數，判斷「17 整除 9a + 5b」是否為真。技巧：找 k 使 9a+5b ≡ k(2a+3b) (mod 17)

第 6 題（9%）｜求 w = (8, −4, −12) 在基底 {(1,1,1), (1,5,−3), (2,2,1)} 下的座標向量
第 7 題（9%）｜{u₁, u₂, u₃} 為內積空間 V 的正交歸一基底，x = c₁u₁+c₂u₂+c₃u₃ 滿足 ‖x‖ = 5、⟨u₁,x⟩ = 4、x ⊥ u₂，求 c₁、c₂、c₃ 的所有可能值
第 8 題（10%）｜A 為 5×7 且 rank = 4：(a) 5% Ax = 0 解空間的維度（3） (b) 5% Ax = b 是否對所有 b ∈ R⁵ 都相容，並說明（否，因為 rank < 5）
第 9 題（10%）｜已知 A 的特徵多項式 p(λ) = (λ+1)(λ−2)²(λ+3)³，求 det(A⁻¹)（det(A) 為特徵值乘積，注意重數）
第 10 題（12%，4 小題各 3%）｜是非題：(a) 特徵值皆非零是否蘊含非奇異（真） (b) 5×5 且 rank = 1、λ=0 重數為 4 時是否可對角化（真） (c) 列等價矩陣的行列式是否相等（假） (d) A 可逆時 rank(A^T) 是否為 0（假）

第 1 題的迴文數求和要看出 aba = 101a + 10b 的結構，再分別對 a、b 求和 —— 硬列 90 個數會來不及。
第 7 題要求「所有可能值」：由 ⟨u₁,x⟩ = 4 得 c₁ = 4、由 x ⊥ u₂ 得 c₂ = 0、由 ‖x‖ = 5 得 c₃ = ±3 —— 要記得 c₃ 有正負兩個解。
第 5 題的整除論證要找出正確的線性組合係數，是數論的技巧題。
第 9 題要注意特徵值的重數：det(A) = (−1)·2²·(−3)³ = 108，所以 det(A⁻¹) = 1/108。