112 中正資工所數學考點分析

題型與配分

系所組別「資訊工程學系－甲組、乙組」，科目名稱：數學，第 1 節考，本科目共 3 頁（八年來唯一 3 頁的一份）、8 大題、100 分。

112 年是中正八年來唯一出現選擇題的一份，而且題目明寫「gain two points for each correct answer」——答對加分、答錯不倒扣，所以第 1 題的十個小題全部都要填。

線性代數考點（1–4，50%）

第 1 題（20%）：十個單選，每題 2 分

• (a)｜齊次方程組 Ax = 0：判斷 null space 的維度（要先做 RREF 數自由變數）
• (b)｜哪一個 2×2 實矩陣的子集是向量子空間：反對稱矩陣（是，對加法與純量乘法封閉）、可逆矩陣（否，不含 0）、奇異矩陣（否，加法不封閉）、A² = 0 的矩陣（否）
• (c)｜A 為 4×4 可逆矩陣，哪個敘述不正確：可寫成基本矩陣乘積（真）、det(A) = 0（假，這就是答案）、Ax = b 有唯一解（真）、(A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹（真）
• (d)｜A 的特徵值為 −1, 2, 4，哪個不正確：可逆（真）、可對角化（真，三個相異特徵值）、tr(A) = 7（假，應為 5）、det(A) = −8（真）
• (e)｜哪一組不是「2×2 對稱矩陣空間」的基底（該空間維度為 3）
• (f)｜（線代觀念判斷）
• (g)｜下三角矩陣 L，哪個不正確：L 可逆 ⇒ L⁻¹ 為上三角（假，仍是下三角，這就是答案）、det(L) 為對角線乘積（真）、L² 為下三角（真）、L^T 為上三角（真）
• (h)｜A 的特徵值為 2, 3, 4，哪個不正確：A⁻¹ 的特徵值為 1/2, 1/3, 1/4（真）、A² 為 4, 9, 16（真）、A^T 為 2, 3, 4（真）、A + 5I 為 2, 3, 4（假，應為 7, 8, 9）
• (i)｜函數空間 C[−1,1] 上的內積 ⟨f,g⟩ = ∫₋₁¹ f g dx，哪一組正交？{x, x²} 正交（∫₋₁¹ x³ dx = 0，奇函數）；{1, x²} 不正交
• (j)｜最小平方，哪個不正確：b 在行空間中時最小平方解也是真解（真）、正規方程 A^TAx = A^Tb 恆相容（真）、最小平方解必唯一（假，這就是答案——A 的行相依時有無窮多解）、最小平方解是 b 在行空間的投影（真）

第 2 題（10%）｜用文字說明兩種分解

• (a) 5%：譜分解（spectral decomposition）——說明它對矩陣性質、特徵值、對角化的要求（實對稱矩陣），並寫出定義 A = Σλ_iu_iu_i^T
• (b) 5%：SVD——說明奇異值、對角化與正交矩陣的關係，並寫出 A = UΣV^T

第 3 題（10%）｜row space 的單位正交基底：給 A 與其 RREF，求 row space 的 orthonormal basis（取 RREF 的非零列，再做 Gram-Schmidt）

第 4 題（10%）｜由基底上的像決定線性算子：S = {v₁, v₂}、v₁ = (1,1)^T、v₂ = (1,0)^T，已知 T(v₁) = (1,−2)^T、T(v₂) = (−4,1)^T

• (a) 4%：算 T(5,−3)（先把 (5,−3) 用 v₁、v₂ 表示）
• (b) 6%：求 T(x₁, x₂) 的一般公式

離散數學考點（5–8，50%）

• 第 5 題（18%）｜九個量詞敘述的真假：Q(x,y) 為「x + y = x − y」，論域為全體整數。九個小題涵蓋 Q(1,1)、Q(2,0)、∀yQ(1,y)、∃xQ(x,2)、∃x∃yQ(x,y)、∀x∃yQ(x,y)、∃y∀xQ(x,y)、∀y∃xQ(x,y)、∀x∀yQ(x,y)。關鍵：x + y = x − y ⟺ y = 0
• 第 6 題（10%）｜鴿籠原理：從前 12 個正整數中最少選幾個，保證至少三對和為 13（配對 {1,12}…{6,7} 共六組）
• 第 7 題（10%）｜二進位字串遞迴
• (a) 5%：長度 n 且含有一對連續 0 的字串個數的遞迴式
• (b) 2%：初始條件
• (c) 3%：長度 7 且不含兩個連續 0 的字串個數（34，與 110 第 9(c) 題同答案）
• 第 8 題（12%）｜正則圖與補圖
• (a) 4%：度數為 6、有 36 條邊的正則圖有幾個頂點（6n/2 = 36 ⇒ n = 12）
• (b) 4%：G 有 50 邊、Ḡ 有 16 邊，求頂點數（C(n,2) = 66 ⇒ n = 12）
• (c) 4%：G 有 x 頂點 y 邊，求 Ḡ 的邊數

這份考卷的難點

1. 第 1 題十個小題全是「找出不正確的那一個」，等於要把四個敘述全部驗證才能作答。(g) 的「下三角矩陣的反矩陣仍是下三角」與 (h) 的「A + 5I 的特徵值要各加 5」是最常見的兩個誤區。
2. 第 5 題的九個量詞在 18 分裡，錯一個就掉 2 分。∃y∀xQ(x,y)（真，取 y = 0）與 ∀x∃yQ(x,y)（真）都成立，但 ∀yQ(1,y) 為假——量詞順序的細微差別要逐題驗算。
3. 第 2 題要求「說明 + 定義」：光寫出 A = UΣV^T 不夠，還要說明 U、V 是正交矩陣、Σ 對角線是非負遞減的奇異值、以及譜分解只適用於對稱（或正規）矩陣。
4. 第 1(i) 的函數內積：要看出 ∫₋₁¹ x·x² dx 是奇函數在對稱區間上的積分 = 0，硬算也行但容易出錯。

準備建議

• 112 的第 1 題是最好的線代觀念總複習清單，十個小題涵蓋子空間、可逆、特徵值運算律、三角矩陣、函數內積、最小平方——建議把每個選項都當成一張判斷卡
• 特徵值的運算律要背成一組：A⁻¹ → 1/λ、A^k → λ^k、A^T → λ（不變）、A + cI → λ + c（最常錯）、cA → cλ
• 「說明矩陣分解的條件」（110 第 5 題、112 第 2 題）連兩年出現，QR／SVD／譜分解三者的前提要能用文字寫清楚
• 量詞真假判斷（110 第 6 題、112 第 5 題、114 第 5 題）是中正三度出現的題型，而且112 的論域是整數、110 與 114 是實數——論域一換答案就變，作答前先圈出論域
• 補圖邊數 C(n,2) = e(G) + e(Ḡ)（108、110、112 三度出現）與正則圖的 nr/2 = e（112）要一起記