中正資工所數學考古題八年大統整（108–115）
題型演變
| 年度 | 節次 | 頁數 | 題數 | 形式 | 特色 |
|---|---|---|---|---|---|
| 108 | 第 1 節 | 2 | 11 | 全申論 | 泥巴小孩謎題、Nim 取石遊戲 |
| 109 | 第 1 節 | 2 | 11 | 全申論 | 要手畫 Q4、模反元素 mod 233 |
| 110 | 第 2 節 | 2 | 10 | 全申論 | 每題整齊 10 分；要用文字說明 QR 與 SVD |
| 111 | 第 1 節 | 2 | 10 | 全申論 | 每題整齊 10 分；積分內積的 Gram-Schmidt |
| 112 | 第 1 節 | 3 | 8 | 含 10 題單選（20 分） | 唯一有選擇題的一年；九個量詞敘述 18 分 |
| 113 | 第 1 節 | 2 | 9 | 前 4 題複選 | 十格圖論填空 20 分、T 型骨牌歸納證明 |
| 114 | 第 2 節 | 2 | 8 | 全申論 | 八個量詞敘述 16 分 |
| 115 | 第 2 節 | 2 | 11 | 大幅轉向證明 | 不分甲乙組；11 題裡 7 題要求論證 |
節次不固定：108、109、111、112、113 在第 1 節，110、114、115 在第 2 節。報名後務必看當年簡章。
重複出題清單
中正是八所裡重複率最高的學校——同一題連數字都不換就重出。
| 題目 | 出現年度 |
|---|---|
| 鴿籠原理「湊出三對和為 S」 | 108（和 24）、110（和 11）、112（和 13）、114（和 15） |
| 二進位字串的遞迴（連續 0） | 109（含三個連續 0）、110（不含兩個連續 0）、112（含一對連續 0） |
| 「長度 7 且不含兩個連續 0」＝ 34 | 110 第 9(c) 題、112 第 7(c) 題（答案完全相同） |
| 遞迴式 an − 2an−1 = 1、a0 = 1 | 109 第 7 題、114 第 7 題（一字不差） |
| 述詞邏輯真假判斷（實數論域） | 110 第 6 題、114 第 5 題（五個小題幾乎相同）、112 第 5 題（整數論域） |
| 補圖邊數 C(n,2) = e(G) + e(Ḡ) | 108 第 11 題、110 第 10 題、112 第 8 題 |
| 模反元素與線性同餘（模數都是 233） | 109 第 9 題（144）、110 第 7 題（72） |
| 向量沿 a 的分量與正交分量 | 108 第 2 題、111 第 1 題 |
| 補完單位正交基底並問「有幾種選法」 | 109 第 4 題、110 第 4(a) 題 |
| 四大子空間（row／column／null space）的基底 | 110 第 1 題、112 第 3 題、114 第 3 題 |
| Ak 用 PDkP−1 計算 | 109 第 5(c) 題、111 第 4 題、114 第 4 題 |
| 由特徵值與特徵向量處理對稱矩陣 | 108 第 4 題（求矩陣）、115 第 4 題（判斷是否存在）——正反兩面 |
| 「用文字說明矩陣分解的條件」 | 110 第 5 題（QR、SVD）、112 第 2 題（譜分解、SVD） |
| 非同構（有根）樹的枚舉 | 111 第 10 題、113 第 9(b) 題 |
| 圖同構的判定與證明 | 111 第 7 題、114 第 8(a) 題 |
| 抽象向量空間的內積 | 111 第 5 題（積分內積）、112 第 1(i) 題、113 第 5 題（加權內積）、115 第 6 題（驗證公設） |
| 可數性證明 | 111 第 8 題（正有理數可數）、115 第 10 題（無限集含可數子集） |
這張表的意思很直接：把 108–115 八份考卷練熟，116 年至少有三分之一的題目你已經寫過。
主題出現年度一覽
| 主題 | 出現年度 |
|---|---|
| 述詞邏輯與量詞 | 110、112、113、114、115 |
| 遞迴式（含非齊次） | 108、109、110、111、112、114、115 |
| 鴿籠原理 | 108、109、110、112、114 |
| 圖論（同構、平面性、補圖、樹） | 108、109、110、111、112、113、114、115 |
| 數論（同餘、模反元素） | 109、110 |
| 可數性與集合 | 108、111、115 |
| 證明技巧（歸納、反證、contraposition） | 111、113、115 |
| 基底、座標與轉移矩陣 | 108、110、111、112、114 |
| 四大子空間與 rank／nullity | 110、112、114 |
| 正交投影與最小平方 | 108、110、112 |
| Gram-Schmidt | 109、110、111、112 |
| 特徵值、對角化與 Ak | 108、109、111、112、113、114 |
| 矩陣分解（QR／SVD／譜分解） | 110、112、115 |
| 抽象向量空間與內積公設 | 111、112、113、115 |
必守的四個題型
1. 鴿籠原理「湊出三對和為 S」（108、110、112、114）
四年都是同一個模板，但每年的可配對組數不同，不能背答案：
| 年度 | 取材範圍 | 目標和 | 可配對的組數 | 注意 |
|---|---|---|---|---|
| 108 | {1,3,5,…,23} 十二個奇數 | 24 | 6 組 | 全部都能配對 |
| 110 | 前 10 個正整數 | 11 | 5 組 | 全部都能配對 |
| 112 | 前 12 個正整數 | 13 | 6 組 | 全部都能配對 |
| 114 | 前 12 個正整數 | 15 | 5 組 | 1 和 2 配不出 15，最壞情況要多算兩個 |
114 年的變化正是為了防止背答案。 作答步驟固定為：① 把能配成 S 的數字兩兩分組 ② 找出配不出來的「孤兒」 ③ 最壞情況 = 孤兒全拿 + 每組各拿一個 + 湊出第三對所需的額外數量。
2. 二進位字串的遞迴（109、110、112）
三年都問「長度 n 的 0/1 字串，關於連續 0 的計數」，而且都拆成 (a) 遞迴式 (b) 初始條件 (c) 代入 n = 7：
- 不含兩個連續 0：an = an−1 + an−2（Fibonacci），a1 = 2、a2 = 3 ⇒ a7 = 34
- 含有某個模式：用 2n − (不含的個數) 反算最快
3. 述詞邏輯（110、112、113、114、115）
五年連續出現，而且是全卷配分最高的單題（112 佔 18 分、114 佔 16 分）。兩種考法：
- 真假判斷（110、112、114）：先確認論域是實數還是整數，再逐題驗算。常見陷阱是
∀x∃y(x = y²)在實數論域為假、∀x∀y(相依方程組)不等於恆真 - 自然語言翻譯（113、115）：要熟練
∀y(C(y) → ¬A(y))這種「沒有…」的寫法，以及否定式¬∃x∀y(...)
4. 線代的「四大子空間 + 對角化 + 分解」三件套
中正線代的 50 分幾乎年年由這三塊組成：
- 四大子空間（110、112、114）：RREF → pivot 行 → column space 的基底取原矩陣的行（最常錯的一步）
- 對角化與 Ak（109、111、113、114）：一律走 PDkP−1，三角矩陣可直接讀特徵值
- 矩陣分解（110、112、115）：QR 需要行線性獨立、SVD 對任意矩陣都存在、譜分解需要對稱——而且中正會要你用文字寫出來
給 116 年考生的策略
- 每一題都要寫。 中正不倒扣、給部分分，寫出正確的中間步驟（例如列出 RREF、寫出遞迴式、標註推論規則）就有分。留白是唯一保證 0 分的做法。
- 把 108–115 八份全部手寫一次。 重複出題清單顯示至少三分之一的題目會重出，有些甚至一字不改（109 與 114 的遞迴題）。
- 115 年的證明題比重大增（11 題裡 7 題要求論證），若 116 年延續，要特別練三種證明的書寫格式：數學歸納法、反證法（contradiction）、反證位換法（contraposition）。中正 111 年就考過「同一命題用兩種方法各證一次」。
- 抽象向量空間是中正的招牌：多項式空間 P2／P4、2×2 矩陣空間、連續函數空間 C[−1,1] 上的內積——這在其他七校很少見，但中正 111、112、113、115 四年都考。
- 注意節次不固定（第 1 節或第 2 節）、115 年起不分甲乙組。
- 不要背鴿籠題的答案，114 年已經示範過用「配不出 S 的孤兒」來破解背答案的人。
本頁的題型、配分、作答規定均直接取自各年度試卷標示；主題出現年度與重複題比對為逐題整理。若發現有誤，歡迎來信指正。