108 交大資工所數學考點分析｜國立陽明交通大學

線代 55%＋離散 45%、全卷 11 題。線代部分連考三題證明（子空間、基底、矩陣方程無解），離散則出現 DNA 序列的遞迴式建模。

題型與配分

科目「線性代數與離散數學（1102）」，系所班別資訊聯招，考試日期 108 年 2 月 13 日第 2 節，全卷 2 頁、11 題、100 分，不可使用計算機。

區段	題號	配分
線性代數	1–5	55%
離散數學	6–11	45%

第 1 題（8%）｜V 為 2×2 實矩陣空間、P₃ 為次數 ≤ 3 的多項式空間，給定線性變換 T : V → P₃，求 rank 與 nullity
第 2 題（5%）｜證明：n 為奇數時，實矩陣 A 不可能滿足 A² + I = O。（關鍵：取行列式得 det(A)² = (−1)ⁿ = −1，實數不可能）
第 3 題（12%）｜C[−1,1] 上由 {e^x, e^2x, e^3x} 張成的空間 V：
(a) 2%｜證明 V 是 C[−1,1] 的子空間
(b) 5%｜證明 B = {e^x, e^2x, e^3x} 是 V 的基底（要證線性獨立 —— 可用 Wronskian 或取特定點）
(c) 5%｜證明 B′ = {e^x − 2e^3x, e^x + e^2x + 2e^3x, 3e^2x + e^3x} 也是基底
第 4 題（15%）｜給 A 與 b，已完成 Gram-Schmidt 與 QR 分解的第一步：(a) 5% 求出 q₂、q₃ 並填完 Q (b) 5% 求出 R (c) 5% 用 QR 分解求 Ax = b 的最小平方解
第 5 題（10%）｜給 3×3 矩陣 C：(a) 5% 求 lim_k→∞ C^k (b) 5% 計算 e^C（矩陣指數）

第 6 題（8%）｜Q(x) 為「x + 1 > 2x」，定義域為所有整數，判斷 ∃xQ(x)、∀xQ(x)、∃x¬Q(x)、∀x¬Q(x) 的真值
第 7 題（9%）｜三個條件句是否為 tautology：p → (q ∨ r)、p → (q → r)、(p → q) ∨ (¬q → r)。是的話要證明，不是的話要給反例
第 8 題（8%）｜判斷四個函數是否為 R → R 的雙射：−3x+4、−3x²+7、(x+1)/(x+2)、x³+1
第 9 題（10%）｜紅球集 R（|R| = m）與藍球集 B（|B| = n）構成完全二分圖 G，m < n：(a) 4% 最小邊割 E′ 的大小（m，切掉某一個紅點的所有邊） (b) 6% G′ = G − E′ 時所有頂點的度數總和
第 10 題（5%）｜S 為長度 n 的所有位元串，a L b 若且唯若 恰有 k 個位元不同，問 R 的 0-1 矩陣中有幾個 1（2ⁿ·C(n,k)）
第 11 題（10%）｜長度 n 的 DNA 序列（C/G/A/T），a_i 為長度 i 且含有兩個連續 G 的序列數，可表示成 a_n = s·a_n−1 + t·a_n−2 + f(n)：(a) 3% 求 a₄ (b) 3% 求 s + t (c) 4% 求 f(n) 的定義

第 3 題（12 分）連考三個證明，其中 (b)(c) 要證明函數集合的線性獨立 —— 可用 Wronskian 行列式或代入特定 x 值解聯立。
第 5(b) 的矩陣指數 e^C 要先把 C 對角化（或求 Jordan form）再對特徵值取指數，是線代的進階應用。
第 11 題的 DNA 遞迴建模要自己導出遞迴關係 —— 難點在於「含有兩個連續 G」是存在性條件，通常要用補集法（先算不含連續 G 的個數）。
第 2 題的證明只有 5 分但很漂亮：取行列式即可，想不到就會繞很久。