108 中央資工所數學考點分析
離散 50%＋線代 50%、單選與多選混合。多選題答錯每選項倒扣 1 分但「倒扣到該大題 0 分為止」，是中央首次明訂扣分底線。
題型與配分
所別「資工類」，科目：離散數學與線性代數，全卷 20 題、100 分，禁用計算器。
| 區段 | 題號 | 配分 | 計分 |
|---|---|---|---|
| 離散數學（單選） | 1–5 | 25% | 無倒扣 |
| 離散數學（多選） | 6–10 | 25% | 答錯每選項倒扣 1 分，扣到該大題 0 分為止 |
| 線性代數（多選） | 11–12 | 10% | 每選項答對 +1、答錯 −1、不答 0 |
| 線性代數（單選） | 13–15 | 15% | 無倒扣 |
| 線性代數（多選） | 16–20 | 25% | 每選項答對 +1、答錯 −1，倒扣到該大題 0 分為止 |
離散數學考點（1–10）
單選（1–5，各 5%）
- 第 1 題｜五個中文句子中哪一個最不可能是命題（要有明確真假值，祈使句與口號不是）
- 第 2 題｜關於 Fibonacci 數哪個敘述不正確（是否存在線性成長的下界／上界、指數成長的下界／上界 —— 線性上界不存在）
- 第 3 題｜求 3302 mod 11（用費馬小定理：310 ≡ 1 mod 11）
- 第 4 題｜S = {1,…,9} 上的整除關係構成的偏序集：是否為全序、有無極大元素、有無最大下界、是否為格
- 第 5 題｜給一張圖跑 Dijkstra，判斷最短路徑成本、加入節點的順序、最短路徑是否必含最少邊數（假）、最短路徑是否唯一（假）
多選（6–10，各 5%，答錯每選項 −1）
- 第 6 題｜R 為全序關係時哪些邏輯敘述為真（反對稱性、完全性）
- 第 7 題｜給遞迴程序 P（Q 花 Θ(√m) 把陣列切成三段，但只遞迴其中兩段），求步驟數 p(n) 與複雜度 f_P（p(n) = 2p(n/3) + c1n1/2 + c2，解得 Θ(nlog32)）
- 第 8 題｜定義 i ~ j 若 2i + 3j = 5n（某整數 n），判斷 ~ 是否反身／對稱／遞移／等價關係／偏序
- 第 9–10 題｜其他離散判斷題
線性代數考點（11–20）
- 第 11 題（多選，5%）｜三角矩陣的特徵值是否為對角元素（真）、A 可逆是否蘊含 AT 可逆（真）、AB 可逆、AB ≠ BA 是否可能（真）、是否存在實矩陣使 A2 = −I（真，例如 90° 旋轉矩陣）
- 第 12 題（多選，5%）｜對稱矩陣是否有實特徵值且可對角化（真）、可對角化且可逆時 A−1 是否也可對角化（真）、A 可逆時 AB 是否相似於 BA（真）、A、B 皆可對角化是否蘊含 AB 可對角化（假）、元素全正的對稱矩陣其二次型是否正定（假）
- 第 13 題（單選，5%）｜給一個 3×3 隨機矩陣，求所有特徵值之和（就是 trace）
- 第 14 題（單選，5%）｜給一個下三角矩陣 A，解 Ax = b
- 第 15–20 題｜其他線代計算與判斷
這份考卷的難點
- 兩種倒扣規則並存：第 6–10 題「扣到該大題 0 分為止」，第 11–12 題則是純逐選項 ±1。要分清楚。
- 第 12(D) 的「A、B 皆可對角化不蘊含 AB 可對角化」是常見迷思，需要記得反例。
- 第 12(E) 的陷阱：元素全為正的對稱矩陣不一定正定（例如 [[1,2],[2,1]] 的特徵值是 3 與 −1）。
- 第 7 題的關鍵：程序只遞迴兩段而不是三段，所以是 2p(n/3) 而非 3p(n/3)。
準備建議
- 費馬小定理求大數模餘（108 第 3 題）在中央 108、109、110 連三年出現
- 「A、B 可對角化 ⇏ AB 可對角化」與「元素全正的對稱矩陣 ⇏ 正定」是中央愛考的兩個反例
- 遞迴式的建模（108 第 7 題）要注意「遞迴幾段」與「每段多大」兩個獨立的量
- 中央的倒扣規則每年細節不同，進場先讀每個大題的計分說明