114 交大資工所數學考點分析

題型與配分

科目「線性代數與離散數學（8102）」，系所班別資訊聯招，考試日期 114 年第 2 節，全卷 3 頁、9 題、100 分，不可使用計算機。

第 6 題的計分最複雜：(a)–(d) 是非題答對 +4、答錯 −4、未答 0，且答錯要說明為什麼錯；(e)–(g) 計算題答對 +3、答錯或未答 0。卷面註明「總分若為負數會調整為 0 分」。

離散數學考點（1–5，共 50%）

• 第 1 題（11%）｜Connect Four（四子棋）的邏輯式翻譯：用 Y(i,j)、R(i,j)、B(i,j) 三個述詞與指定的連接詞，翻譯三個敘述：(a) 4% 第 2 列有連續四個紅子 (b) 4% 每一行至少有一個黃子 (c) 3% 有子的格子必為紅或黃但不能同時是兩者
• 第 2 題（14%）｜(a) 4% 給定域 D 與兩個述詞，R、S 為其真值集合，選出永遠為真的敘述（|R| ≤ |D|、∀x(P→Q) ⟹ R ⊆ S、R∩S = ∅ 時 P∨Q 是否恆真 …） (b) 10% 舉出兩個無限集合，用排容原理說明 ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀
• 第 3 題（12%）｜8 個相異任務分配到 3 台相同伺服器：(a) 4% 無限制時的分法數（第二類 Stirling 數之和） (b) 2% 每台至少一個任務 (c) 2% 每台至少一個且沒有一台處理 5 個以上 (d) 4% 改成伺服器有標號時的分法數。(a)–(c) 是相同伺服器（用 Stirling 數）、(d) 是相異伺服器（用排容），這個對比是本題的核心
• 第 4 題（7%）｜關係 R = {(a,b),(b,c),(c,d),(d,e),(a,e)}：(a)(b)(c) 各 1% 判斷 reflexive／symmetric／transitive (d) 4% 是否為偏序？若不是，最少要加幾個有序對才能變成偏序
• 第 5 題（6%）｜判斷兩個圖 G、H 是否同構：(a) 2% 是或否 (b) 4% 是的話給出保持鄰接的映射，不是的話詳細說明理由

線性代數考點（6–9，共 50%）

• 第 6 題（25%）｜
• (a) 4%｜A 可逆 ⟺ λ = 1 是 A 的特徵值（假）
• (b) 4%｜W 是 Rⁿ 的子空間時，W⊥ 是否也是子空間（真）
• (c) 4%｜E 為基本矩陣時，N(EA) 是否等於 N(A)（真）
• (d) 4%｜h = 1+x² 是否在 span{cos²x, sin²x} 中（假）
• (e) 3%｜5×7 且 rank = 3 的矩陣，Ax = 0 的通解有幾個參數（4）
• (f) 3%｜5×6 矩陣的解空間為二維時，rank(A) 是多少（4）
• (g) 3%｜求 k 使 (k, 21, −12) 是兩個給定向量的線性組合
• 第 7 題（5%）｜給一個大部分為 0 的矩陣，問行列式展開後有幾個非零乘積項
• 第 8 題（10%）｜求正交矩陣 Q（且 q₁₁ > 0、q₂₂ > 0）與對角矩陣 D，使二次型 6x² + 24xy − y² 對角化
• 第 9 題（10%）｜求給定線性變換的矩陣表示

這份考卷的難點

1. 第 6 題的是非題答錯倒扣 4 分且要說明理由，四題合計 16 分，全猜錯就是 −16（雖然總分會調整到 0）。
2. 第 3 題的「相同 vs 相異伺服器」對比是全卷最需要分辨的地方：相同伺服器用第二類 Stirling 數 S(8,k)，相異則要乘上 3!。
3. 第 1 題的邏輯翻譯要精確使用題目規定的 ⋁ 與 ⋀ 記號，(c) 的「但不能同時」要用互斥或表達。
4. 第 2(b) 的 ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀ 要舉出具體例子（例如偶數集合與奇數集合），用雙射說明。

準備建議

• 邏輯式翻譯是交大數學的固定題型（106、107、112、113、114 連續出現），要習慣把中文／英文敘述精確轉成 ∀∃ 與連接詞
• 分配問題的四種情形（物件相異／相同 × 容器相異／相同）要分清楚，第二類 Stirling 數與排容原理都要會
• 二次型的正交對角化（114 第 8 題）是線代的標準題，與 112 第 1-1 題的正定判斷相關
• 交大數學從 113 年起科目代號改為 8102，考試仍在第 2 節