110 交大資工所數學考點分析

題型與配分

科目「線性代數與離散數學（1102）」，國立陽明交通大學，系所班別資訊聯招，考試日期 110 年 2 月 3 日第 2 節，全卷 5 頁、10 題、100 分，不可使用計算機。

這是交大數學十年來唯一有倒扣的一年，而且第 10(c) 的證明題卷面直接用中文寫著：

「Please leave it blank if you don't know the correct answer, or you will get at most minus 5 points for the wrong answer. 不會寫請留白，答錯最多倒扣 5 分，扣至本題組 0 分為止。」

離散數學考點（1–7）

• 第 1 題（5%）｜實數 0.02468101214161820…（把偶數依序接起來）的小數點後第 1000 位是什麼
• 第 2 題（15%）｜(a) 5% 給一個元素為巢狀集合的集合 P，求 2^P 的元素個數（要先數清楚 P 有幾個相異元素） (b) 5% 無限集合 W 的定義是什麼 (c) 5% 用你的定義嚴格證明 S = {k/2ⁿ} 是無限集合
• 第 3 題（5%）｜n 個自然數的 gcd = g、lcm = l，求乘積 p = z₁z₂…z_n 以 n、g、l 表示的最大與最小可能值
• 第 4 題（5%）｜1000 到 5000 之間不被 4、5 或 6 整除的整數有幾個（排容原理）
• 第 5 題（5%）｜x₁+x₂+x₃ = k 在 x₁≥2、1≤x₂≤5、0≤x₃≤3 限制下解數 a_k 的生成函數
• 第 6 題（5%）｜證明兩個等價關係的交集 R₁ ∩ R₂ 仍是等價關係
• 第 7 題（10%，5 小題各 2%）｜是非題並簡要說明：n-cube Q_n 是否為正則圖（真）、Q_n 邊數的遞迴式 E_n+1 = 2ⁿ + 2E_n、K₂,₃ 與 K₃,₃ 是否為平面圖（K₃,₃ 不是）、給定加權鄰接矩陣時兩點間最短路徑的條數、是否存在指定端點的 Euler path

線性代數考點（8–10）

• 第 8 題（10%，10 個是非題，答對 +1、答錯 −1、未答 0）｜A^T+A 是否必對稱（真）、Ax=0 有非零解時 A 是否可逆（假）、R³ 在 R³ 中的正交補、m<n 且列滿秩時 Ax=b 的解數、⟨u,v⟩=0 是否蘊含 u ∈ S⊥、對稱矩陣的 C(A^T) 與 N(A^T)、線性相依集合去掉一個是否仍相依（假）、(U⊥)⊥ = U、N(A) 與 C(A^TA) 的關係、rank(AB) ≤ min(rank A, rank B)（真）
• 第 9 題（15%，5 小題各 3%，答錯 −1）｜(a) W 與 W⊥ 的維度關係 (b) 7×5 且 rank = 5 的矩陣，Ax = b 的解與最小平方解的個數 (c) 求最小平方解 β (d) 求 b 在 u 上的正交投影 (e) 求 y 在 span{u₁,u₂} 中的最近點
• 第 10 題（25%）｜
• (a) 5%｜(i) det(A⁻¹) = [det(A)]⁻¹ 是否為真 (ii) 分塊上三角矩陣的行列式是否為 det(A)·det(C) (iii) 求一個 5×5 矩陣的行列式
• (b) 10%｜給三階遞迴 G_k+3 = −2G_k+2 + 2G_k+1 + 4G_k（G₀=7, G₁=−6, G₂=20），求 G₁₀₀
• (c) 10%｜證明：n×n 矩陣中相異特徵值對應的特徵向量線性獨立（k ≤ n 的一般情形）。答錯倒扣 5 分

這份考卷的難點

1. 倒扣讓策略完全不同。 第 8 題 10 個是非題各扣 1 分、第 9 題五小題各扣 1 分、第 10(c) 扣 5 分 —— 合計 50 分的區塊都有倒扣，沒把握就該留白。
2. 第 10(c) 的證明（相異特徵值 ⇒ 特徵向量線性獨立）要用歸納法，寫錯倒扣 5 分，是全卷風險最高的一題。
3. 第 2(b)(c) 要自己定義無限集合再嚴格證明，這種「先給定義再用定義證明」的要求很少見。
4. 第 10(b) 的三階遞迴求 G₁₀₀ 要先解特徵方程 x³+2x²−2x−4 = 0，再代初始條件。

準備建議

• 110 年是交大數學唯一有倒扣的一年，但規則寫得很清楚 —— 進場先讀完每個題組的計分說明
• 「相異特徵值的特徵向量線性獨立」的證明是線代基本定理，建議完整寫過一次
• 正交投影、最小平方解、最近點（110 第 9 題）是交大反覆考的一組（107、108、110 都有）
• 排容原理與生成函數（110 第 4、5 題）是離散數學的基本工具，要能快速列式