107 交大資工所數學考點分析

題型與配分

科目「線性代數與離散數學（1102）」，系所班別資訊聯招，考試日期 107 年 2 月 2 日第 2 節，全卷 3 頁、15 題、100 分，不可使用計算機。

同樣要求「先清楚寫下答案，再說明如何計算」且「依序作答，不要跳題」。

離散數學考點（1–9，各 5–10%）

• 第 1 題（5%）｜集合運算的元素個數計算（冪集合、笛卡兒積、交集的組合）
• 第 2 題（5%）｜bag（可重複集合）的 subbag 個數：{4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7} 有幾個 subbag（各元素的重複數 +1 相乘：2×3×4×3 = 72）
• 第 3 題（5%）｜把「每個大於 6 的自然數都能寫成三個質數之和」翻譯成述詞邏輯式
• 第 4 題（10%）｜n = 10a + b 時，找出 −9 ≤ x, y ≤ 9 使「n 是 17 的倍數 ⟺ xa + yb 是 17 的倍數」，並證明。（答案與 17 | (10a+b) ⟺ 17 | (a − 5b) 這類判別法有關）
• 第 5 題（5%）｜給 a_n = 4n − 2 與 a_n = n(n+1)，寫出它們的遞迴定義
• 第 6 題（5%）｜找出一段歸納證明的瑕疵：「三分與四分郵票能組出任何 ≥ 3 分的郵資」。錯在基礎步驟不足（沒處理 5 分）與歸納步驟的替換不總是可行
• 第 7 題（5%）｜硬幣擲六次的機率：(1) 全部正面 (2) 恰三次正面 (3) 正面次數為偶數（答案 1/2）
• 第 8 題（5%）｜(1) 求包含 {(a,b),(a,c),(d,e)} 的最小等價關係 (2) 寫出它分割出的等價類
• 第 9 題（5%）｜判斷兩對圖是否同構

線性代數考點（10–15）

第 10–14 題為是非題（各 5%），每題給五個小敘述，涵蓋：

• 第 10 題｜reduced row echelon form 的五個條件（哪些是必要條件）
• 第 11 題｜非奇異矩陣的等價條件（行列式非零、與 I 列等價、Ax = 0 只有零解…）
• 第 12 題｜基本矩陣（elementary matrix）的性質（交換兩列、乘非零常數、加倍數；注意題目寫的是「列」還是「行」）
• 第 13 題｜行列式的性質：det(A) = det(B) 是否蘊含 A = B（假）、det(rA+B) 的分配性（假）、det((AB)^T) = det(A)det(B)（真）、列等價矩陣的行列式是否相等（假，會差常數倍）
• 第 14 題｜n 個 Rⁿ 中的行向量：線性獨立 ⟺ A 非奇異、det ≠ 0、N(A) = {0}、秩零化度定理、rank(A) = rank(A^T)

第 15 題（25%）為計算題：

• (1) 6%｜求向量 x 在矩陣 A 的列空間上的投影
• (2) 6%｜用 Gram-Schmidt 從 A 的行向量求出正交基底 B₂
• (3) 6%｜求某矩陣的特徵值與特徵向量，構成有序基底 B₃
• (4) 7%｜求從基底 B₃ 到 B₂ 的座標轉換矩陣

這份考卷的難點

1. 第 6 題「找出證明的瑕疵」是很少見的題型，要能指出歸納法的基礎步驟涵蓋不足（3 和 4 有了，但 5 呢？）與歸納步驟的操作不總是可行。
2. 第 4 題的 17 整除判別法要自己推導出係數並證明，不是背公式。
3. 第 15 題四小題連動（投影 → Gram-Schmidt → 特徵向量 → 轉換矩陣），合計 25 分，前面算錯後面全錯。
4. 第 10–14 題的是非判斷都是五個小敘述一組，細節很多（例如「列等價矩陣的行列式相等」是錯的）。

準備建議

• 交大數學的離散部分偏「基礎概念的精確理解」：邏輯翻譯、等價關係、歸納法的正確性、圖同構 —— 而不是複雜計算
• 線代的是非題佔 25 分（107 第 10–14 題），建議把 Leon 或 Strang 課本每章的定義與定理整理成判斷卡
• Gram-Schmidt、投影、座標轉換矩陣這一組（107 第 15 題）是交大線代的核心，要能連貫操作
• 圖同構的判斷（106、107 連兩年）要練習「先比對度數序列、再找具體對應或指出矛盾」