114 師大資工所數學考點分析
首次把離散部分改成「只寫答案、不必解釋」。第 9 題用 20 分建立對稱關係的遞迴並求封閉式，是六年來最長的一題。
題型與配分
科目「數學基礎」，適用系所：資訊工程學系，全卷 2 頁、9 大題、100 分。
| 區段 | 題號 | 配分 | 作答要求 |
|---|---|---|---|
| 線性代數 | 1–5 | 50% | 申論（寫過程） |
| 離散數學 | 6–9 | 50% | 只寫答案，不必解釋 |
114 年最大的變化：卷面明寫「For the problems 6–9, simply put the answers on the answer sheet. No explanations are needed.」
也就是說離散那 50 分沒有部分分數——算對就滿分、算錯就零分。線代的 50 分仍是申論。
卷首的 Some notations 定義了 [v]_B（B-座標向量）與 dim W，後面的題目直接沿用。
線性代數考點（1–5，50%，要寫過程）
- 第 1 題（9%）｜RREF 的性質推理：A 為 m×n 矩陣、RREF 為 R，判斷下列矩陣的 RREF 是什麼
- (a) 3%：[A | 0]（右邊補一個零行）→ [R | 0]
- (b) 3%：[a1 a2 … a_k]（取 A 的前 k 行，k < n）→ R 的前 k 行
- (c) 3%：[A | cA]（右邊接上 A 的 c 倍）→ [R | cR]
- 這題不需要任何計算，全靠對 RREF 定義的理解
- 第 2 題（9%）｜由特徵空間維度反推特徵多項式：A 為 4×4、沒有非實特徵值、恰有兩個實特徵值 5 與 −9
- (a) 4%：dim W5 = 3 時，列出所有可能的特徵多項式
- (b) 5%：dim W5 = 2 時，列出所有可能的特徵多項式
- 關鍵：幾何重數 ≤ 代數重數，且代數重數總和為 4
- 第 3 題（10%）｜階梯式基底的座標變換：𝒜 = {u1,…,un} 是基底，ℬ = {v1,…,vn}，其中 vi = ui + ui+1 + … + un。已知 [v]_𝒜 = (a1,…,an)T，求 [v]_ℬ。與 112 年第 3 題同型（該年是 ui = u1 + ui）
- 第 4 題（12%）｜正交投影
- (a) 8%：求子空間 W = Row(…) 的正交投影矩陣 P_W
- (b) 4%：求 W 中離 w 最近的唯一向量
- 第 5 題（10%）｜由特徵值與特徵向量構造矩陣：求 3×3 矩陣 A，特徵值為 −2、−2、4，並給定對應的特徵向量。做法是 A = PDP−1（注意這裡的特徵向量不保證正交，所以要真的求 P−1 而不能用 PT）
離散數學考點（6–9，50%，只寫答案）
- 第 6 題（5%）｜握手定理：無向圖 G 有 n 個頂點、m 條邊，每個頂點度數都是 3，求 n/m。由 3n = 2m 得 n/m = 2/3
- 第 7 題（15%）｜列出所有可能的度數序列：G 是連通簡單無向圖、5 個頂點，且恰有三種不同的度數，列出所有可能的度數序列。要逐一檢驗：度數範圍 1–4、總和為偶數、Havel–Hakimi 可實現、且連通
- 第 8 題（10%）｜線性丟番圖方程：x ∈ N、y ∈ Z，求使 314x + 159y = 26 成立的第二小的 x。先用擴展歐幾里得求 gcd(314,159) = 1 與貝祖係數，再寫出 x 的通解 x ≡ x0 (mod 159)，取第二小的正整數
- 第 9 題（20%）｜對稱關係的遞迴與封閉式：an = n 元素集合上既對稱又反身的關係數、bn = 對稱但不反身的關係數（a0 = 1、b0 = 0）
- (a) 5%：求 a1 與 b1
- (b) 10%：找出 f(n)、g(n) 使 bn = f(n)·bn−1 + g(n)·an−1
- (c) 5%：求 bn 的封閉式
- 提示：對稱關係由對角線（n 個位置，各自 0/1）與非對角線無序對（C(n,2) 個，各自 0/1）決定 → 對稱關係共 2n+C(n,2) 個，其中反身的有 2C(n,2) 個，所以 bn = 2n+C(n,2) − 2C(n,2)
這份考卷的難點
- 離散 50 分只寫答案、沒有部分分數。第 9 題三個小題環環相扣（(b) 要用 (a) 的結果、(c) 要用 (b) 的遞迴），一步算錯就連鎖崩盤，而且沒有推導可以拿部分分。
- 第 7 題要「列出所有」度數序列，漏掉一組就不完整。5 個頂點的連通簡單圖度數序列本來就有限，但要同時滿足「恰三種相異度數」「總和為偶」「可實現」「連通」四個條件，必須有系統地窮舉。
- 第 2 題的特徵多項式列舉：4×4 矩陣、兩個實特徵值、dim W5 = 3 時，5 的代數重數至少 3，所以只能是 (x−5)3(x+9)；dim W5 = 2 時，5 的代數重數可以是 2 或 3，要列出兩種可能。
- 第 1 題看似簡單其實最容易輕忽——(b) 小題中「取前 k 行的 RREF 是 R 的前 k 行」需要說明為什麼列運算不受後面的行影響。
準備建議
- 114 年的「離散只寫答案」是重要訊號：若 116 年延續，離散的準備重點要從「會推導」轉向「算得準、算得快」
- 114 第 3 題與 112 第 3 題是同一題型（階梯式基底的座標變換），兩年並排練效率最高
- 正交投影矩陣 P_W（114 第 4 題）六年全中，公式 P = A(ATA)−1AT 要背到反射動作
- 對稱關係的計數（114 第 9 題）與中山 113 年第 7 題是同一個結構（對角線 + 非對角線無序對），可以互相參照
- 線性丟番圖方程與中國剩餘定理（114 第 8 題、113 第 7 題、115 第 7 題）三年連續，擴展歐幾里得演算法務必練熟
- 圖的度數序列（114 第 6、7 題、112 第 9 題、115 第 6 題）是師大離散的固定主線