113 師大資工所數學考點分析
唯一 3 頁的一份。第 6 題用 25 分考「隨機 0/1 矩陣」的機率與 Ramsey 型論證，是六年來最難也最有份量的一題。
題型與配分
科目「數學基礎」，適用系所：資訊工程學系，全卷 3 頁（六年來唯一）、7 大題、100 分。
| 區段 | 題號 | 配分 |
|---|---|---|
| 線性代數 | 1–4 | 50% |
| 離散數學 | 5–7 | 50% |
申論卷、寫在答案卷上、標明題號、不必抄題、沒有倒扣。
113 年把離散壓縮成三大題但加重配分（第 6 題單題 25 分），與其他年度「五題各 10 分」的切法完全不同。
線性代數考點（1–4，50%）
- 第 1 題（14%）｜由 RREF 與部分行反推整個矩陣：已知 A = [a1 … a5] 的 reduced row echelon form R 以及 a2、a5 兩行
- (a) 6%：決定矩陣 A（非 pivot 行可由 pivot 行依 R 的係數線性組合得出）
- (b) 2%：dim Col A（= R 的 pivot 數）
- (c) 2%：dim Null A（= 自由變數個數）
- (d) 4%：寫出 Ax = 0 的通解向量形式
- 第 2 題（約 11%）
- (a) 5%：行列式的列運算：已知 det A = −9，求把三列各自做線性組合後的新矩陣行列式。只有「某列乘常數」會改變值（這裡是 4 與 2），列加列的倍數不影響
- (b) 判斷何時不可對角化：線性算子 T 含一個未知純量 c，求所有使 T 不可對角化的 c 值。做法是算特徵多項式，找出重根且幾何重數 < 代數重數的 c
- 第 3 題（13%）
- (a) 7%：求 R3 對某平面 W 的反射算子 T_W 的顯式公式（與 110 年第 3 題同型）
- (b) 6%：求 W 中離 u 最近的唯一向量 w（即正交投影）
- 第 4 題（13%）｜譜分解
- (a) 7%：求 A 的單位正交特徵向量基底與對應特徵值
- (b) 6%：用上述結果寫出 A 的譜分解 A = ΣλiuiuiT
離散數學考點（5–7，50%）
- 第 5 題（15%）｜兩個自訂圖論性質的互推：對無向簡單圖 G = (V, E) 定義
- U 是「good」：U 中的每個頂點在 V−U 中恰有一個鄰居
- U 是「not bad」：V−U 中的每個頂點在 U 中恰有一個鄰居
- (a) 5%：證明或反證「good ⇒ not bad」
- (b) 10%：證明或反證「not bad ⇒ good」
- 這題完全不靠背誦，只考「讀懂定義 + 找反例或寫證明」的能力
- 第 6 題（25%）｜隨機 0/1 矩陣：m×n 矩陣 M 的每個元素獨立以 1/2 機率設為 0 或 1
- (a) 5%：定義 Mij 為「feasible」若其上下左右四個鄰居都是 1。證明或反證：不同位置的 X(a,b) 與 X(c,d) 事件獨立（答案是「不一定獨立」——相鄰位置會共用元素）
- (b) 5%：令 W 為 feasible 元素的個數，求 E[W]（用期望值的線性性，不需要獨立性）
- (c) 5%：證明或反例——m ≥ 3 且 n ≥ 2m+1 時，必存在四個位置 (i,j)、(i,j′)、(i′,j)、(i′,j′) 的值全相同（這是二維 Ramsey／鴿籠論證）
- (d) 10%：把條件放寬成 m ≥ 3 且 n ≥ 7，同樣要證明或反例。這是 (c) 的加強版，也是全卷最難的 10 分
- 第 7 題（10%）｜中國剩餘定理：求滿足 x ≡ 20 (mod 26)、x ≡ 8 (mod 11)、x ≡ 18 (mod 57) 的第二小的正整數。三個模數 26 = 2×13、11、57 = 3×19 兩兩互質，總模數為 26×11×57 = 16302，先求最小解再加上 16302
這份考卷的難點
- 第 6 題單題 25 分，而且四個小題難度遞增：(a) 要看出相鄰位置共用元素所以不獨立、(b) 要用期望值線性性繞過相依性、(c)(d) 要做二維的鴿籠／Ramsey 論證（把每一行看成 m 位的 0/1 字串，用鴿籠找出兩行在某兩列上同色）。(d) 把 n 從 2m+1 降到 7，需要更精細的計數。
- 第 5 題考的是「讀定義的能力」，兩個性質看起來對稱但其實不等價。要能快速造出反例（通常是很小的圖），而不是空想證明。
- 第 2(b) 的「何時不可對角化」：要理解「特徵多項式有重根」只是必要條件，真正的判準是幾何重數 < 代數重數。要對每個候選 c 值實際算特徵空間的維度。
- 第 1(a) 的反推矩陣：RREF 的非 pivot 行係數告訴你「該行是哪些 pivot 行的線性組合」，而題目只給了 a2 與 a5，要先判斷哪些是 pivot 行。
準備建議
- 113 第 2(b) 與 115 第 1(b) 是同一題型（給含參數 c 的線性算子，求使其不可對角化的 c），連兩年出現
- 113 第 1 題與 115 第 1(a) 也是同一題型（由 RREF 與部分行反推 A）
- 中國剩餘定理三年連續（113 第 7 題、114 第 8 題、115 第 7 題），而且 115 年給了一個已知解要你「微調」——是最有巧思的變形
- 反射算子與正交投影（113 第 3 題）六年全中
- 113 年的離散明顯偏向「證明與論證」（第 5、6 題共 40 分全是 prove or disprove），若 116 年延續，要練習快速造反例的能力