113 成大資工所數學考點分析｜國立成功大學

離散部分有 28 分是生成函數（含 √(1+x) 的展開）與有限狀態機設計，線代則考 24 個重排向量張成的子空間維度，是十年最巧的一題。

題型與配分

編號 198，系所「電機資訊學院－資訊聯招」，科目：計算機數學，考試日期 113 年 2 月 1 日第 3 節，全卷 2 頁、10 題、100 分，不可使用計算機。

區段	題號	配分
一、離散數學	1–5	50%
二、線性代數	6–10	50%

第 1 題（7%）｜解非齊次遞迴式 a_n+2 − 4a_n+1 + 3a_n = −200（a₀ = 3000、a₁ = 3300）。特徵根 1、3，因為 1 是特徵根，特解要取 cn 的形式
第 2 題（10%）｜列出生成函數 F(x) = √(1+x) 的前五個係數，並化簡為最簡分數。這是廣義二項式定理：C(1/2, k)
第 3 題（15%，3 小題各 5%）｜G(x) 為 {a_k} 的生成函數，求以下數列的生成函數：(A) 3a₀, 3a₁, 3a₂, …（3G(x)） (B) 0, 0, 0, 0, a₄, a₅, …（G(x) 減去前四項） (C) a₁, 2a₂, 3a₃, 4a₄, …（G′(x) 的形式）
第 4 題（13%）｜設計有限狀態機 M = (S, I, O, ν, ω)，S = {s₁,…,s₄}、輸入 {0,1,2}、輸出 {0,1}，輸入串含至少三個 1 時輸出 1，要填出狀態圖上的問號
第 5 題（5%）｜10 個頂點、度數序列為 (1,3,1,3,2,1,1,3,1,3) 的樹有幾棵。用 Prüfer 序列：答案是 (n−2)! / Π(d_i−1)!

第 6 題（10%）｜向量 x = (x₁,x₂,x₃,x₄) ∈ R⁴ 的 24 個重排張成子空間 S，找出使 dim(S) = 3 的具體向量 x。關鍵：24 個重排永遠包含 (1,1,1,1) 方向；當且僅當分量滿足特定關係時維度會降到 3
第 7 題（10%）｜給一列特殊結構的行列式 G₃、G₄、G₅…，計算 G_n 的值（要找出遞迴規律）
第 8 題（10%）｜證明：B 可逆時 AB 與 BA 有相同的特徵值（用相似變換 BA = B(AB)B⁻¹）
第 9 題（10%）｜給空間中三點 P、Q、R，求第一個分量為 −1 的點 S 使 PQ 平行於 RS
第 10 題（10%，5 小題各 2%）｜是非題：(a) 正定矩陣是否必可逆（真） (b) det(A−B) 是否等於 detA − detB（假） (c) 與子空間 W 的每個向量都正交是否蘊含 w = 0（假，除非 W = 全空間） (d) A 為方陣且 Ax = b 對某些 b 無解時，nullity 是否為零（假） (e) 若 Rⁿ 有由 A 的特徵向量組成的基底，A 是否可對角化（真）

第 6 題（10 分）的 24 個重排是全卷最巧的一題：要看出所有重排的和永遠是 (s,s,s,s)（s 為分量和），因此至少含一維；維度恰為 3 需要分量滿足特定條件（例如恰有兩個相異值）。
第 2 題的 √(1+x) 展開要用廣義二項式係數 C(1/2,k)，前五項是 1, 1/2, −1/8, 1/16, −5/128。
第 5 題的 Prüfer 序列公式（給定度數序列的標號樹個數）不是每門課都會教。
第 4 題要自己設計狀態機，而不只是追蹤，需要想清楚四個狀態如何對應「已見 0/1/2/≥3 個 1」。