110 師大資工所數學考點分析｜國立臺灣師範大學

線代 50 分＋離散 50 分切得剛好。線代考反射算子、最小平方與正交算子的構造，離散則出現轉置密碼與 RUNNING REINDEERS 的加密。

題型與配分

科目「數學基礎」，適用系所：資訊工程學系，全卷 2 頁、10 大題、100 分。

區段	題號	配分
線性代數	1–5	50%
離散數學	6–10	50%（每題 10 分）

作答規定：「請依序在答案卷上作答，並標明題號，不必抄題」「答案必須寫在指定作答區內，否則依規定扣分」。是申論卷、沒有倒扣。

卷首附有「Related notations」定義區——師大每年都會先定義 column vector、linear operator、transpose、orthogonal matrix 等記號。這一段要看，因為題目會直接沿用這些定義。

第 1 題（8%）｜行列式的運算律
(a) 5%：求 det(A⁻¹B^T) = det(B)/det(A)
(b) 3%：求 det(A⁻¹C)，其中 C = 3B^T → 要記得 det(cM) = cⁿ·det(M)（4×4 時是 3⁴ = 81 倍）
第 2 題（6%）｜三個子空間的維度：求 (a) Col A、(b) Row A、(c) Null A^T 的維度。前兩者都等於 rank，第三個是 m − rank（左零空間）
第 3 題（12%）｜反射算子的顯式公式：求 R³ 對平面 W : x − 2y + 3z = 0 的反射算子 T_W 的明確公式。標準做法是 T_W(x) = x − 2·proj_n(x)，其中 n = (1,−2,3)^T 是法向量
第 4 題（12%）｜最小平方解：不相容方程組 Ax = b（A 為 3×2），用最小平方法求使 ‖Az − b‖ 最小的 z。解正規方程 A^TAz = A^Tb
第 5 題（12%）｜構造正交算子：找 R³ 上的正交算子 T 使 T(v₁) = w₁ 且 T(v₂) = w₂。要先驗證 v 與 w 的長度與夾角一致（正交算子保長度與內積），再把兩組向量各自擴充成單位正交基底，令 T 把一組送到另一組

第 6 題（10%）｜集合的基數：A = {x | x ∈ Z 且 x > 20}，判斷是有限、可數無限，還是不可數。答案是可數無限，並要明確寫出 Z⁺ 到 A 的一對一對應（n ↦ n + 20）
第 7 題（10%）｜解遞迴式：a_n = 4a_n−1 − 4a_n−2、a₀ = 6、a₁ = 8。特徵方程 (x−2)² 是重根 2，通解 a_n = (c₁ + c₂n)2ⁿ，代入得 a_n = (6 − 2n)2ⁿ
第 8 題（10%）｜關係與平面圖
(1) 給 0-1 矩陣，判斷該關係是否為等價關係（要逐一檢查反身、對稱、遞移）
(2) 判斷給定的圖是否為平面圖，若是要畫出無交叉的版本
第 9 題（10%）｜鴿籠原理與古典密碼
(1) 一所大學有 36 個時段、769 門課，問至少需要幾間教室 → ⌈769/36⌉ = 22
(2) 轉置密碼（transposition cipher）：用 σ(1)=3、σ(2)=5、σ(3)=1、σ(4)=2、σ(5)=4 的排列，以 5 個字母為一組加密 RUNNING REINDEERS，不足處補 X
第 10 題（10%）｜反例與矩陣冪次
(1) 對 ∀x∃y(y² = x)（論域為整數）找反例 → 取 x = 2（或任何非完全平方數）
(2) 給 2×2 矩陣 A，求 A^k

第 5 題的「構造」正交算子比「驗證」難得多：必須先確認 ‖v₁‖ = ‖w₁‖、‖v₂‖ = ‖w₂‖、⟨v₁,v₂⟩ = ⟨w₁,w₂⟩（否則正交算子不存在），再用 Gram-Schmidt 把兩組擴成完整的單位正交基底。
第 9(2) 的轉置密碼是離散課本密碼章節的邊角內容，σ 的方向容易搞反——σ(1)=3 是指「原本第 1 位的字母移到第 3 位」還是「新的第 1 位取自原本第 3 位」，要看課本定義。
第 1(b) 的 det(3B^T)：4×4 矩陣乘上純量 3 時行列式是 3⁴ = 81 倍，寫成 3 倍是最常見的失分。
第 3 題要寫「顯式公式」而非單一向量的像——答案要是一個可套用於任意 x 的矩陣或公式。

正交投影與反射算子是師大線代的絕對核心：110 第 3 題（反射）、111 第 10 題、112 第 5 題、113 第 3 題、114 第 4 題、115 第 3 題六年全中
行列式對列運算與純量倍數的反應（110 第 1 題、111 第 7 題、113 第 2(a) 題）三度出現，要背熟 det(cA) = cⁿdet(A)、交換兩列變號、某列加上另一列的倍數不變
重根遞迴（110 第 7 題）與基數判斷（110 第 6 題）是離散送分題
師大是申論卷、要寫過程、不倒扣，策略與中正、中山一致：每題都要下筆
卷首的 Related notations 一定要讀，師大會在那裡定義後面題目要用的記號（如 [T]_B、orthogonal operator）